| Annahmen über die Beutepopulation |
Annahmen über die Räuberpopulation |
Die Änderungsrate \(\mathsf{B'(t)}\) setzt sich aus drei Komponenten zusammen, der Zunahmerate \(\mathsf{B_1'(t)}\) durch Geburten, der Abnahmerate \(\mathsf{B_2'(t)}\) durch natürliche Todesfälle und der Abnahmerate \(\mathsf{B_3'(t)}\) durch Getötetwerden durch Räuber:
\(\mathsf{B'(t)=B_1'(t)-B_2'(t)-B_3'(t)}\) |
Die Änderungsrate \(\mathsf{R'(t)}\) setzt sich aus drei Komponenten zusammen, der Zunahmerate \(\mathsf{R_1'(t)}\) durch Geburten, der Abnahmerate \(\mathsf{R_2'(t)}\) durch natürliche Todesfälle und der Zunahmerate \(\mathsf{R_3'(t)}\) durch Fressen von Beutetieren:
\(\mathsf{R'(t)=R_1'(t)-R_2'(t)+R_3'(t)}\) |
Die Zunahmerate \(\mathsf{B_1'(t)}\) ist direkt proportional zu \(\mathsf{B(t)}\):
\(\mathsf{B_1'(t)=a\cdot B(t)}\) |
Die Zunahmerate \(\mathsf{R_1'(t)}\) ist direkt proportional zu \(\mathsf{R(t)}\):
\(\mathsf{R_1'(t)=d\cdot R(t)}\) |
Die Abnahmerate \(\mathsf{B_2'(t)}\) ist direkt proportional zu \(\mathsf{B(t)}\):
\(\mathsf{B_2'(t)=b\cdot B(t)}\) |
Die Abnahmerate \(\mathsf{R_2'(t)}\) ist direkt proportional zu \(\mathsf{R(t)}\):
\(\mathsf{R_2'(t)=e\cdot R(t)}\) |
Die Abnahmerate \(\mathsf{B_3'(t)}\) ist direkt proportional zur Anzahl der Kontaktmöglichkeiten von Beutetieren und Räubern. Da jedes Beutetier mit jedem Räuber in Kontakt kommen kann, gibt es \(\mathsf{B(t)\cdot R(t)}\) Kontaktmöglichkeiten:
\(\mathsf{B_3'(t)=c\cdot B(t)\cdot R(t)}\) |
Die Zunahmerate \(\mathsf{R_3'(t)}\) ist direkt proportional zur Anzahl der Kontaktmöglichkeiten von Beutetieren und Räubern. Da jedes Beutetier mit jedem Räuber in Kontakt kommen kann, gibt es \(\mathsf{B(t)\cdot R(t)}\) Kontaktmöglichkeiten:
\(\mathsf{R_3'(t)=f\cdot B(t)\cdot R(t)}\) |
Setzt man die Ausdrücke der letzten drei Gleichungen in die erste Gleichung ein, erhält man:
\(\mathsf{B'(t)=a\cdot B(t)-b\cdot B(t)-c\cdot B(t)\cdot R(t)\Rightarrow}\)
\(\mathsf{B'(t)=(a-b)\cdot B(t)-c\cdot B(t)\cdot R(t)}\) |
Setzt man die Ausdrücke der letzten drei Gleichungen in die erste Gleichung ein, erhält man:
\(\mathsf{R'(t)=d\cdot R(t)-e\cdot R(t)+f\cdot B(t)\cdot R(t)\Rightarrow}\)
\(\mathsf{R'(t)=(d-e)\cdot R(t)+f\cdot B(t)\cdot R(t)}\) |