Grundwissen:

Unter einer Zerlegung \(\mathsf{Z}\) des Intervalls \(\mathsf{[a;b]}\) verstehen wir ein (n+1)-Tupel \(\mathsf{Z=(x_0|x_1|x_2|\ldots|x_n)}\) mit \(\mathsf{a=x_0\lt x_1\lt x_2<\ldots\lt x_n=b}\).
Es sei \(\mathsf{f}\) eine im Intervall \(\mathsf{[a;b]}\) stetige Funktion und \(\mathsf{Z=(x_0|x_1|x_2|\ldots|x_n)}\) mit \(\mathsf{a=x_0\lt x_1\lt x_2<\ldots\lt x_n=b}\) eine Zerlegung von \(\mathsf{[a;b]}\). Die Längen der Teilintervalle \(\mathsf{[x_0;x_1],[x_1;x_2],\ldots,[x_{n–1};x_n]}\) seien \(\mathsf{\Delta x_1,\Delta x_2,\ldots,\Delta x_n}\). Ferner seien \(\mathsf{m_1,m_2,\ldots m_n}\) Minimumstellen und \(\mathsf{M_1,M_2,\ldots M_n}\) Maximumstellen von \(\mathsf{f}\) in den jeweiligen Teilintervallen. Man setzt:
Untersumme von \(\mathsf{f}\) in \(\mathsf{[a;b]}\) bei der Zerlegung \(\mathsf{Z}\): \(\mathsf{U_f(Z)=f(m_1)\cdot\Delta x_1+f(m_2)\cdot\Delta x_2+\ldots+f(m_n)\cdot\Delta x_n=\sum\limits_{i=1}^{n}f(m_i)\cdot\Delta x_i}\)
Obersumme von \(\mathsf{f}\) in \(\mathsf{[a;b]}\) bei der Zerlegung \(\mathsf{Z}\): \(\mathsf{O_f(Z)=f(M_1)\cdot\Delta x_1+f(M_2)\cdot\Delta x_2+\ldots+f(M_n)\cdot\Delta x_n=\sum\limits_{i=1}^{n}f(M_i)\cdot\Delta x_i}\)

Näherungsweises Berechnen von Flächeninhalten