1.3 Überlagerung von Schwingungen Wird ein schwingender Körper gleichzeitig durch verschiedene Erreger zum Schwingen gebracht, etwa indem auf einer Brücke mehrere Autos fahren, so überlagern sich die einzelnen Schwingungen. Die resultierende Schwingung hängt von den Amplituden, Frequenzen, Richtungen und Phasenwinkeln (s. u.) der Einzelschwingungen ab und ist meist nicht harmonisch. Wir konzentrieren uns daher auf jene Spezialfälle, bei denen das Ergebnis wieder zu einer harmonischen Schwingung führt. Sie sind speziell für das Verständnis der Akustik (Musikinstrumente), aber auch für die Elektrizität (elektrische Schwingkreise) von Bedeutung. Schwingungen gleicher Richtung und gleicher Frequenz Die Überlagerung verschiedener Schwingungen erfolgt durch Addition der einzelnen Schwingungen. Im einfachsten Fall haben zwei Schwingungen gleiche Amplitude, gleiche Frequenz und dieselbe Richtung. Entscheidend für das Ergebnis ist, in welcher Phase sich die jeweilige Schwingung im Augenblick der Überlagerung befindet. Wenn die Auslenkungen z. B. gleichzeitig ihr Maximum erreichen, sind die Schwingungen in gleicher Phase, ebenso, wenn beide Schwingungen gleichzeitig einen Nulldurchgang haben und ihre Auslenkungen dabei zunehmen bzw. beide abnehmen. Im Allgemeinen haben Schwingungen unterschiedliche Phasen. Vergleichen wir zwei Schwingungen (37.3). y 1 = y 0·sin ( ω·t) und y 2 = y 0·sin ( ω·t + α) Als Phasen der Schwingungen y 1(t) bzw. y 2(t) wird das Funktionsargument ω·t bzw. ω·t + α bezeichnet. α bezeichnet man als Phasendifferenz oder Phasenverschiebung. Eine Schwingung ist ein periodischer Vorgang, der sich nach einer bestimmten Zeit, der Schwingungsdauer T, wiederholt. Entsprechend liegt der Wert von α zwischen 0 und 2π, α = 0, 2π: Die Schwingung erfolgt ohne Phasendifferenz im „gleichen Takt“ α = π: Die Schwingung erfolgt entgegengesetzt, also im „Gegentakt“. Nun können wir uns die Überlagerung von zwei Schwingungen gleicher Frequenz und gleicher Richtung ansehen: Computerübung: Überlagerung von Schwingungen 37.1 E4 Zeichne für die Phasendifferenzen α = 0, π/3, π/2, π die Funktionen y 1 = sin(2πt/T) und y 2 = sin(2πt/T + α) sowie ihre Überlagerung y = y 1 + y 2 im Bereich t = 0…T. 37.2 E4 Stelle die Überlagerung von Schwingungen mit unterschiedlichen Amplituden und der Phasendifferenz 0 bzw. π am Computer dar. Je nach Phasendifferenz kommt es bei der Überlagerung von Schwingungen zu Verstärkung oder Abschwächung (37.4). Ist die Phasendifferenz gleich π, so löschen die beiden Schwingungen einander bei gleicher Amplitude aus. In allen anderen Fällen beobachtet man unterschiedliche Verstärkungen und Abschwächungen der Amplitude. Die Überlagerungskurve erhält man, indem man die Auslenkungen für jeden Zeitpunkt addiert. Bei der Überlagerung zweier Schwingungen gleicher Frequenz und gleicher Richtung kommt es bei einer Phasenverschiebung α = 0 zur maximalen Verstärkung, α = π bei gleicher Amplitude zur Auslöschung. Die resultierende Schwingung erhält man durch Addition der jeweiligen Auslenkungen. 37.1 Drei verschiedene Klänge wurden mit Hilfe eines Oszillosgraphs aufgezeichnet. Der Ton einer Stimmgabel ist eine Sinusschwingung, die Töne von Musikinstrumenten sind Überlagerungen mehrerer Sinusschwingungen. Violine Stimmgabel Klavier 37.2 Die Punkte gleicher Phase bei einer Schwingung unterscheiden sich um den Winkel 2π y 2π Punkte gleicher Phase π 4 2π 4 3π 4 π 5π 4 6π 4 7π 4 0 37.3 Die Phasendifferenz zwischen den Schwingungen beträgt hier α = π/4 y 0 2π π 4 2π 4 3π 4 π 5π 4 6π 4 Phasenverschiebung 7π 4 Auslenkung s Konstruktive Interferenz ( = 0): die Auslenkungen werden verstärkt. Auslenkung s Destruktive Interferenz ( = ): die Auslenkungen werden ausgelöscht. 37.4 Die Überlagerung zweier Schwingungen (grüne und blaue Kurve). Oben α = 0 (Verstärkung) und unten α = π (Schwächung bzw. Auslöschung bei gleicher Amplitude). Ergebnis: rote Kurve 37 Schwingungen 1 Mechanische Schwingungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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