Was sagen die Energie- und Impulsbilanz für den Fall: Körper 1 stößt elastisch gegen den ruhenden Körper 2? Die Bewegung erfolgt nur in einer Richtung, daher können wir Vektorpfeile weglassen (15.1). Gesamtenergie Gesamtimpuls vor dem Stoß E = 1 _ 2 m 1·v 1 2 + 0 + U p ges = m 1·v 1 + 0 nach dem Stoß E = 1 _ 2 m 1·v 1 ′2 + 1 _ 2 m 2·v 2 ′2 + U p ges = m 1·v 1 ′ + m 2·v 2 ′ Wie wird bei elastischen Stößen Energie zwischen den Stoßpartnern übertragen? Feste Körper sind nie völlig starr, sondern elastisch verformbar. Modellhaft kann man sie sich als Systeme von Teilchen vorstellen, die durch Federkräfte miteinander gekoppelt sind. Beim Zusammenstoß werden die Körper zusammengedrückt, Bewegungsenergie wird in innere Energie umgewandelt. Anschließend dehnen sich die Stoßpartner wieder aus, stoßen einander ab und die innere Energie wird wieder in Bewegungsenergie umgewandelt. Da sich die innere Energie U beim elastischen Stoß nicht ändert, bezeichnen wir sie vor und nach dem Stoß gleich. Die Gesamtenergie und der Gesamtimpuls bleiben im isolierten System konstant. Es muss daher gelten: 1 _ 2 m 1·v 1 2 + U = 1 _ 2 m 1·v 1' 2 + 1 _ 2 m 2·v 2' 2 + U, (I) m 1·v 1 = m 1·v 1 ′ + m 2·v 2 ′ (II) Die Gleichungen (I) und (II) lassen sich umformen zu m 1·(v 1 2 − v 1' 2) = m 2·v 2' 2 oder m 1·(v 1 − v 1 ′ )·(v 1 + v 1 ′ ) = m 2·v 2' 2 (I') m 1·(v 1 − v 1 ′ ) = m 2·v 2 ′ (II') Wir haben zwei Gleichungen für die Unbekannten v 1 ′ und v 2 ′gewonnen. Dieses Gleichungssystem lösen wir auf und erhalten: v 1 ′ = m 1 − m 2 _ _ m 1 + m 2 ·v 1 und v 2 ′ = 2 m 1 _ _ m 1 + m 2 ·v 1. Untersuche, überlege, forsche: Elastischer Stoß – Spezialfälle 15.1 E4 a) Bestimme für den elastischen Stoß eines Körpers gegen einen ruhenden Körper gleicher Masse (m 1 = m 2) die Geschwindigkeiten nach dem Stoß. Fasse dein Ergebnis in einem Merksatz zusammen. E4 b) Wie ändern sich die Geschwindigkeiten nach dem Stoß, wenn du m 2 schrittweise verkleinerst. Lege eine Tabelle der Massenverhältnisse und der Geschwindigkeitsverhältnisse v 1 ′ /v 1 und v 2 ′ /v 1 an. Überprüfe deine Ergebnisse mit der Simulation (15.3). Fasse sie in einem Merksatz zusammen. 15.1 Elastischer Stoß zwischen ungleichen Partnern: die gesamte kinetische Energie verteilt sich nach dem Stoß auf die beiden Stoßpartner. Beim elastischen Stoß wird die innere Energie der Stoßpartner nicht verändert. m1 m1 v1 v1 v2 v 2 = 0 m2 m2 ' ' 15.2 Elastischer Stoß eines Balls gegen eine Mauer. Beim Aufprall wird der Ball zusammengedrückt (15.4), Bewegungsenergie wird als potentielle Energie gespeichert und beim Rückprall wieder zu Bewegungsenergie. Die Stoßdauer hängt von der Härte des Balls ab. Der Ball wird im Idealfall mit unverändertem Geschwindigkeitsbetrag reflektiert. m1 v1 v 2 = 0 v’ 2 = 0 m1 v’ = – 1 v1 m2 15.3 Überprüfe mit Hilfe der Simulation (abrufbar über den Online-Code) die Geschwindigkeitsänderungen von kleinen Experimentierwagen beim elastischen Stoß. Ändere unabhängig voneinander die Masse und die Startgeschwindigkeit eines Wagens. Analysiere danach die Auswirkungen der Änderung. Fußbälle verlieren beim Rückspringen von einem harten Boden nur wenig an Geschwindigkeit, ihre Stöße sind daher in guter Näherung elastisch. Was sagt die Physik zum Kopfball (11.4)? Welcher Impuls wird auf den Kopf übertragen, welche Kraft wirkt innerhalb der Kontaktzeit von ca. 0,01 s? Dazu brauchen wir einige Daten: Die Masse des Balls ist m 1 = 0,45 kg. Die Masse m 2 des Kopfes ist 6−7 kg: nehmen wir sie mit 6,75 kg an, etwa dem 15-Fachen der Ballmasse. Die Ballgeschwindigkeit sei 50 km/h oder 14 m/s: Der Kopf erfährt eine Impulsänderung m 2·v 2 ' = 2m 1·m 2 _ _ m 1 + m 2 v 1 = 11,8 N·s. Dies scheint ein kleiner Kraftstoß zu sein. Wegen der kurzen Einwirkungsdauer von etwa 0,01 s ist die Kraft allerdings 1 180 N, und bewirkt eine kurzzeitige Beschleunigung a = F / m 2 = 1180/6,75 m·s −2 = 175 m·s −2 des Kopfes, das 17,5-Fache der Fallbeschleunigung! Kann das schaden? Geübte Fußballerinnen und Fußballer spannen vor dem Ballkontakt die Nackenmuskulatur an, so dass m 2 um die Masse des Oberkörpers vergrößert wird und die Beschleunigung reduziert wird, das Genick wird dadurch geschont und das Risiko einer Gehirnerschütterung wird geringer. Energie- und Impulsbilanz Kopfball 15.4 Kopfball: Kurz (nur wenige Hundertstel Sekunden), aber heftig ist der elastische Stoß zwischen Kopf und Ball 15 Mechanik II 1 Impuls XXXXXX Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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