Die Gesetze der Planetenbewegung Im Gravitationsfeld der Sonne bewegen sich zahlreiche Körper: Planeten und deren Monde, die Asteroiden, die Kometen und zahlreiche kleine Gesteinsbrocken. Es handelt sich um Satelliten der Sonne. Ihre Bahnen hängen – genauso wie jene der Erdsatelliten – von ihrer Geschwindigkeit ab. Kopernikus dachte, dass sich die Planeten auf Kreisen um die Sonne bewegen. Erst durch die genaue Analyse von Langzeitbeobachtungen der Planetenbahnen konnte Johannes Kepler etwa 60 Jahre nach Kopernikus die Planetenbahnen genauer beschreiben. Seine Erkenntnisse sind in den Kepler’schen Gesetzen zusammengefasst und gelten allgemein für Körper im Gravitationsfeld von wesentlich massiveren Körpern. Eine Erklärung dieser Gesetze konnte erst Newton aus dem Gravitationsgesetz ableiten. 1. Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren gemeinsamen Brennpunkt die Sonne steht (erstes Kepler’sches Gesetz). Die Exzentrizität der Planetenbahnen (61.1) ist äußerst gering, das heißt, das Verhältnis der beiden Halbachsen der Ellipse liegt für alle Planeten nahe bei eins. 2. Der von der Sonne zum Planeten gezogene Radiusvektor überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen (zweites Kepler’sches Gesetz). Aus 61.2 ist ersichtlich, dass die Geschwindigkeit der Planeten in Sonnennähe größer ist und mit zunehmender Entfernung zur Sonne kleiner wird. 3. Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben ihrer großen Halbachsen ihrer Bahnen (drittes Kepler’sches Gesetz). T1 2 _ T2 2 = r1 3 _ r2 3 Das dritte Kepler’sche Gesetz lässt sich für Kreisbahnen leicht ableiten. Die für die Bewegung um die Sonne nötige Zentripetalkraft wird von der Sonne geliefert: m·v2 _r = G m·M _ r2 (m = Planetenmasse, M = Sonnenmasse, r = Bahnradius) Für einen Planeten auf einer Kreisbahn um die Sonne gilt: v = 2π·r _ T (T = Umlaufzeit) Durch Einsetzen und Umformen erhalten wir die folgende Beziehung: T 2 _ r3 = 4π2 _ G·M Der Quotient T 2/r 3 hängt nicht von der Planetenmasse ab und hat daher für jeden Planeten des Sonnensystems den gleichen Wert. Untersuche, überlege, forsche: Kepler’sche Gesetze 61.1 W3 Die Kepler’schen Gesetze gelten für alle Körper, die sich wegen der Gravitationskraft um einen Zentralkörper bewegen, daher auch für künstliche und natürliche Erdsatelliten. Berechne mit Hilfe des dritten Kepler’schen Gesetzes und der Umlaufzeit des Mondes die Erdmasse (Entfernung Mond–Erde: 384000km, Umlaufzeit 27,3 Tage). 61.2 W3 Berechne mittels des dritten Kepler’schen Gesetzes die Masse der Sonne (mittlerer Abstand Erde-Sonne: 150 Mio. km). Überprüfe dein Ergebnis anhand der Tabelle auf S. 161. 61.3 W3 Geostationäre Satelliten bewegen sich so um die Erde, dass sie sich immer über demselben Punkt am Äquator befinden. Sie werden z. B. als Nachrichtensatelliten, Wettersatelliten oder für die Forschung eingesetzt. In welcher Höhe H befinden sich diese Satelliten und welche Geschwindigkeit haben sie (T = 24 h, r = R + H)? Bahn des Planeten Im Brennpunkt steht die Sonne Große Halbachse Kleine Halbachse Perihel Aphel 61.1 Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen um die im Brennpunkt befindliche Sonne (erstes Kepler’sches Gesetz). Die tatsächlichen Abweichungen von der Kreisbahn sind wesentlich geringer als in der Grafik. Die Bahnen der anderen Planeten sind geringfügig gegen die Ebene der Erdbahn (Ekliptik) geneigt. v1 v v 2 1 < 61.2 Der von der Sonne zum Planeten gezogene „Fahrstrahl“ überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen (zweites Kepler’sches Gesetz). 61.3 Informationsübertragung erfolgt vielfach über Satelliten. Zum Empfang dienen u. a. Satellitenschüsseln. 61 Mechanik I 4 Spezielle Bewegungsformen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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