Die Zentripetalbeschleunigung Durch die Wirkung der Zentripetalkraft wird der Körper in Richtung Mittelpunkt des Kreises beschleunigt. Wovon hängt der Betrag der Beschleunigung ab? Experiment: Bewegung auf der Kreisbahn 59.1 E2 Du brauchst: verschiedene weiche Bälle, eine Schnur, einen Kraftmesser Befestige jeweils einen Ball mittels Schnur am Kraftmesser und schleudere ihn waagrecht im Kreis. Finde nun heraus, wovon die Zentripetalkraft abhängt (59.1). Führe ein Versuchsprotokoll. Wie hängt die Anzeige am Kraftmesser von – der Masse des Balls, – dem Radius der Kreisbahn, – der Frequenz bzw. Winkelgeschwindigkeit ab? Mit einem quantitativen Experiment kann man zeigen, dass die zur Aufrechterhaltung der Kreisbewegung nötige Zentripetalkraft mit der Masse des Körpers, der Winkelgeschwindigkeit und dem Bahnradius zunimmt. Die Formel für die Zentripetalkraft lässt sich folgendermaßen herleiten: Beschleunigung ist bekanntlich der Quotient aus Geschwindigkeitsänderung und Zeitdauer. 57.2 zeigt, dass sich beim Umlauf eines Körpers der Geschwindigkeitsvektor → v um eine volle Umdrehung dreht. Greifen wir wie in 57.2 die Änderung des Geschwindigkeitsvektors während einer Achteldrehung heraus: Kleine Änderungen des Vektors → v normal zu seiner Richtung drehen ihn um 45 o, bzw. im Bogenmaß um π/4. Die verstrichene Zeit ist T/8. Die Spitze des Vektors → v hat dabei den Weg v·π/4 zurückgelegt. Innerhalb eines vollen Umlaufs (Dauer T) ergibt dies den Weg v·2 π. Die Beschleunigung ist definiert als Quotient aus Geschwindigkeitsänderung und Zeitdauer. Bei einem vollen Umlauf (Dauer T) beträgt die Geschwindigkeitsänderung 2 π v und daher die Beschleunigung aZ = 2 π v _ T = ω·v. Mit v = r· ω folgt: Zentripetalbeschleunigung (Radialbeschleunigung) aZ = r· ω2 = v2 _r Die Zentripetalbeschleunigung az ist eine vektorielle Größe und zeigt zum Zentrum der Kreisbahn. Die für eine Kreisbahn eines Körpers mit der Masse m erforderliche Zentripetalkraft FZ (Radialkraft) ist daher: Zentripetalkraft (Radialkraft) FZ = m·r· ω2 = m v2 _r Die v2-Abhängigkeit kann sich im Straßenverkehr auswirken. Durchfährt ein Auto eine Kurve mit einer um 50% größeren Geschwindigkeit, so muss wegen des Terms v2 eine 1,52 = 2,25-fache Zentripetalkraft für die Kurvenfahrt aufgebracht werden. Die Zentripetalkraft wird von der Reibungskraft zwischen Rädern und Straßenbelag geliefert. Ist die Reibungskraft zu klein, so schlittert das Auto aus der Kurve, d. h. es fährt infolge der Trägheit geradeaus weiter (59.2). Wie erleben Passagiere die Kurvenfahrt? Sie haben den Eindruck, durch eine Kraft nach außen gedrückt zu werden. Häufig bezeichnet man diese Kraft als Zentrifugalkraft (auch Fliehkraft genannt). Dieser Eindruck entsteht, weil die Personen im fahrenden Auto zwar fest auf der Polsterung sitzen, aber ihre Körper sich infolge der Trägheit tangential zum jeweiligen Kurvenstück weiterbewegen. Dadurch werden sie in der Kurve nach außen gedrückt. Kräfte, die wie die Zentrifugalkraft auf die Trägheit zurückzuführen sind und nur im beschleunigten Bezugssystem wahrnehmbar sind, werden häufig auch als Trägheitskräfte bezeichnet (siehe S. 37). 59.1 Experiment zur Zentripetalbeschleunigung 59.2 Durchfährt ein Auto eine Kurve, so wirkt die Reibungskraft zwischen Reifen und Straße als Zentripetalkraft und zwingt das Auto in die Kurve. Fehlt die Reibungskraft bzw. ist sie zu gering, so bewegt sich das Auto mit der jeweiligen Bahngeschwindigkeit tangential weiter, es rutscht aus der Kurve. 59.3 Welche Kräfte wirken auf das Motorrad? Warum muss das Fahrzeug in der Kurve eine Schräglage einnehmen? Zeichne eine Skizze, schätze ab, wo der Schwerpunkt ist und setze dort die Kräfte an. 59 Mechanik I 4 Spezielle Bewegungsformen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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