Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit Bei der gleichförmigen Kreisbewegung sind die Bahngeschwindigkeiten → v der einzelnen Massenpunkte, aus denen der Körper besteht, unterschiedlich (22.2). Für die Beschreibung der Kreisbewegung ist es daher zweckmäßiger, ein Geschwindigkeitsmaß zu wählen, das für den gesamten Körper gilt. Jeder Massenpunkt des Körpers überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Winkel (bezogen auf den Kreismittelpunkt, 58.1). Man bezeichnet den Quotienten aus dem Winkel Δ φ, der von einem zum Kreismittelpunkt gezogenen Radius überstrichen wird, und der dafür benötigten Zeit Δt als Winkelgeschwindigkeit ω (58.2, 58.3). Winkelgeschwindigkeit ω = ∆ φ _ ∆t Einheit: 1 s‒1, Winkel gemessen im Bogenmaß Bahngeschwindigkeit und Frequenz Bei den folgenden Überlegungen konzentrieren wir uns einfachheitshalber auf die Beträge der einzelnen physikalischen Größen und verzichten auf die Vektorschreibweise. In vielen Fällen (etwa bei einem Karussell) wird die Kreisbahn mehrfach mit gleicher Umlaufzeit durchlaufen. In diesem Fall spricht man von einer periodischen Bewegung. Charakteristisch für derartige Bewegungen sind die Begriffe Umlaufzeit T und Frequenz f. Unter der Umlaufzeit T versteht man jene Zeitspanne, die der Körper zum Durchlaufen des gesamten Kreisumfangs benötigt. Beispiel: Ein Windrad führt in 3 Sekunden 2 vollständige Umdrehungen durch. Die Zeit für eine Umdrehung beträgt daher 3 s/2 = 1,5 s. Pro Sekunde legt das Rad 2/3 Umdrehungen zurück. Man bezeichnet diese Zahl als Frequenz f. Sie entspricht dem Kehrwert der Dauer für eine Umdrehung (Periode). In unserem Fall ist f = 2 _ 3 s−1. Die Frequenz f ist die Zahl der vollständigen Umläufe pro Sekunde. f = 1 _ T Einheit: Hertz (Hz) 1 Hz = 1 _s = 1 s‒1 In welcher Beziehung stehen Bahngeschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit, Umlaufzeit und Frequenz? Bei der gleichförmigen Kreisbewegung wird in der Umlaufzeit T der Umfang u = 2 π·r durchlaufen. Der Betrag der Bahngeschwindigkeit auf der Kreisbahn ist daher: v = 2 π·r _ T = 2 π·r·f Es gilt für den Betrag der Winkelgeschwindigkeit: ω = Δ φ _ Δt = 2 π _ T = 2 π·f Bei gleichförmigen Kreisbewegungen ergibt sich für den Betrag der Bahngeschwindigkeit v: v = 2 π·r _ T = 2 π·r·f = r·2 π·f = r· ω Wie bei der Translation ist auch bei der Rotation die Bahngeschwindigkeit v eine vektorielle Größe. Betrachtet man nun auch den Radius als Vektor (vom Mittelpunkt weg gerichtet), so ergibt sich → v als Kreuzprodukt von → ω und → r : → v = → ω × → r Bei einem ausgedehnten Körper haben alle Teile des Körpers dieselbe Winkelgeschwindigkeit (58.1), die Bahngeschwindigkeit ist allerdings verschieden. Sie ist umso größer, je größer der Abstand zum Mittelpunkt des Kreises ist. Gleichförmige Kreisbewegung Bahngeschwindigkeit v = 2π·r _ T = 2πr·f Winkelgeschwindigkeit ω = ∆ φ _ ∆t = 2π·f v = r· ω 1 P 2 ∆ In der wird der überstrichen. Zeit Winkel ∆t ϕ ϕ ϕ ϕ2– 1ϕ = ∆ϕ 58.1 Zur Festlegung der Winkelgeschwindigkeit ω r v 58.2 Die Winkelgeschwindigkeit ist ein Vektor, der normal zur Bahnebene steht. Der Betrag ergibt sich aus: ω = 2 πf = v _ r v w 58.3 Für die Ermittlung der Richtung der Winkelgeschwindigkeit gilt folgende Regel: Drehe einen Korkenzieher oder eine Schraube im Uhrzeigersinn. Die Richtung, in die sich der Korkenzieher bewegt, zeigt die Richtung des Vektors der Winkelgeschwindigkeit an. 58.4 Die Geschwindigkeit einer Kreisbewegung lässt sich durch die Umlaufzeit T, die Frequenz f oder die Winkelgeschwindigkeit ω angeben. So hängen diese drei Größen miteinander zusammen. 58 Mechanik I 4 Spezielle Bewegungsformen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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