Unter der Steigung einer schiefen Ebene versteht man das Verhältnis von Höhe zu Basis, also den Tangens des Steigungswinkels. Bei Straßen wird die Steigung in Prozent (und nicht als Dezimalzahl) angegeben. Eine Steigung von 15 % bedeutet daher, dass h/b = 0,15 bzw. tan α = 0,15 ist. Dies entspricht einem Steigungswinkel von 8,53°. Ein Auto parkt auf einer steilen Bergstraße. 41.2 zeigt die Straße im Aufriss. Welche Kräfte wirken auf das Auto? Zunächst das Gewicht des Autos → F G. Uns interessiert aber die Hangabtriebskraft → F P , mit der das Auto talwärts gezogen wird. Wir zerlegen also → F G in zwei Komponenten: → F N drückt das Auto gegen die Unterlage. Das Auto fällt allerdings nicht in diese Richtung, es wird vom Straßenbelag mit der Kraft − → F N gehalten. Soll das Auto nicht ins Rutschen kommen, muss es mit einer Kraft − → F P gehalten werden. Der Zusammenhang zwischen dem Neigungswinkel der schiefen Ebene α und der Hangabtriebskraft → F p lässt sich mittels Winkelfunktionen einfach berechnen: sin α = → F p : → F G ¥ → F P = → F G·sin α Untersuche, überlege, forsche: Die schiefe Ebene 41.1 W4 Ein Bergbauer (41.3) bringt Heu mit einem Schlitten über steile Hänge ins Tal. Schlitten und Heu haben zusammen eine Masse von 150kg, die Hangneigung beträgt an manchen Stellen 25°. Damit der Schlitten nicht beschleunigt und eine möglichst gleichmäßige Fahrgeschwindigkeit hat, musste ihn der Bauer nach dem Anfahren festhalten. Bestimme die dafür notwendige Kraft. 41.2 S1 Die Teilstrecke I der Dachstein-Seilbahn von Obertraun auf den Krippenstein überwindet auf einer Länge von 1 718 m einen Höhenunterschied von 740 m. Diskutiere, welchen Vorteil der Pendelbetrieb, bei dem jeweils eine Kabine (Masse ca. 15 t) bergwärts bzw. talwärts fährt, im Vergleich zu einer Seilbahn mit nur einer Kabine hat. Bestimme die Massen, die beim Anfahren beschleunigt werden. Rechtwinkeliges Dreieck, Winkelfunktionen, Steigung 41.1 zeigt eine schiefe Ebene (z. B. eine Rampe) im Längsschnitt. Die Seiten l (Länge der Rampe), h (Höhe), b (Basis) bilden ein rechtwinkeliges Dreieck. Mit der Angabe des Steigungswinkels α kommen die Winkelfunktionen Sinus (sin), Cosinus (cos) und Tangens (tan) ins Spiel. Es gilt: sin α = Gegenkathete/Hypotenuse = h/l cos α = Ankathete/Hypotenuse = b/l tan α = Gegenkathete/Ankathete = h/b h g gnormal g a parallel = α α b l 41.1 Beschleunigung auf der schiefen Ebene m h FN –FN FP –FP F = m · g G l b 41.2 Kräftezerlegung: Die Gewichtskraft eines Körpers (Auto) auf der schiefen Ebene (Bergstraße) wird in je eine Komponente parallel und normal zur Ebene zerlegt: → F G = → F P + → F N. → F N wird durch die Gegenkraft (− → F N) der festen Rampe kompensiert. Damit der Körper nicht zu rutschen beginnt, wird die Kraft − → F P benötigt. 41.3 Heu wird mit einem Schlitten ins Tal gebracht. 1.6 Die schiefe Ebene Ist eine Ebene geneigt, spricht man von einer schiefen Ebene. Mittels schiefer Ebenen kann man Kräfte sparen. Wenn du einen Berg besteigst, kannst du direkt bergauf gehen, oder aber den Wanderweg benutzen, der sich langsam den Berg hinaufschlängelt. Bergbahnen und Schrägaufzüge nutzen diesen Effekt. Auch die Ägypter haben, so vermutet man, beim Bau der Pyramiden zum Transport schwerer Steine schräge Bahnen benutzt, um Kraft zu sparen. Wir wollen diese Kräfte genauer betrachten. Dazu nutzen wir einige mathematische Überlegungen und betrachten die schiefe Ebene im Aufriss. In manchen Fällen nutzt man die Hangabtriebskraft, um Körper zu beschleunigen. Du kennst das aus dem Sport, vor allem vom Schifahren bzw. Schispringen. In einem Kräfteparallelogramm (41.1) lässt sich die Erdbeschleunigung → g in zwei Komponenten zerlegen. Die Schispringerin (in der Abb. als Schiläuferin dargestellt) in Abb. 41.1 wird nicht mit → g , sondern nur mit einem Bruchteil von → g beschleunigt. Um die Beschleunigung entlang der Anlaufspur zu erhalten, betrachten wir → g als Summe (oder anders ausgedrückt als Resultierende) zweier Komponenten: Die eine Komponente → g parallel ist parallel zur Anlaufspur (bzw. zur schiefen Ebene), die andere Komponente → g normal normal dazu. Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke folgt für die Beträge dieser Vektoren: gparallel : g = sin α = h : l. Längs der schiefen Ebene wirkt die Beschleunigung gparallel = a: a = g·h _ l = g· sin α Wie beim freien Fall erfolgt die Bewegung mit konstanter Beschleunigung. Es gilt daher v = vend = a·t und für die Bahnlänge s = l = ½ a·t2. Durch Umformen erhält man vend = 9 ___ 2 a·l = 9 ____ 2 g·h _ l ·l = 9 ___ 2 g·h Beim reibungsfreien Gleiten auf einer schiefen Ebene hängt die Endgeschwindigkeit nicht vom Gefälle ab. 41 Mechanik I 1 Die Newton’schen Gesetze Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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