James Clerk Maxwell (123.1) und Ludwig Boltzmann (122.1) haben im 19. Jahrhundert die kinetische Gastheorie aufgebaut. Eine wichtige Frage war, wie schnell sich die Teilchen eines Gases bewegen. Die typische Geschwindigkeit vm von Gasteilchen und ihre Abhängigkeit von der Temperatur T und der Teilchenmasse m lässt sich aus der grundlegenden Beziehung _ E k = m· _ v m 2 _ 2 = 3 _ 2 k·T zwischen der mittleren kinetischen Energie der Teilchen und der absoluten Temperatur abschätzen. Ein Großteil der Moleküle hat Geschwindigkeiten von der Größenordnung: vm ≈ 9 __ _ v m 2 = 9 ____ 3·k·T __ m Teilchengeschwindigkeiten nehmen mit der Wurzel aus der Temperatur zu, leichte Teilchen sind im Durchschnitt schneller als schwere. Maxwell berechnete bereits 1860 die Geschwindigkeitsverteilung der Teilchen eines idealen Gases mit statistischen Methoden, Boltzmann erarbeitete 1877 dazu eine verbesserte, heute noch gültige Begründung. Sie heißt daher Maxwell-Boltzmann-Verteilung (123.2). In der folgenden Tabelle sind die mittleren Geschwindigkeiten in einigen Gasen für verschiedene Temperaturen angegeben. Temperatur Wasserstoff H2 Stickstoff N2 Sauerstoff O2 in °C in K vm in m/s vm in m/s vm in m/s 0 273 1843 493 461 100 373 2155 576 539 500 773 3102 829 776 In der Luft beträgt die mittlere Molekülgeschwindigkeit bei T = 0°C etwa 480m/s. Die Schallgeschwindigkeit ist proportional zur mittleren Molekülgeschwindigkeit und hat daher dieselbe Temperaturabhängigkeit. Untersuche, überlege, forsche: Edelgase in der Atmosphäre 123.1 S3 Das Edelgas Argon (Isotop 40Ar) entsteht beim radioaktiven Zerfall des Kaliumisotops 40K, Helium (4He) entsteht beim α-Zerfall der schweren Elemente Uran, Radium, etc., die in den Gesteinen der Erdkruste enthalten sind. Die Erdatmosphäre enthält zwar fast 1 % 40Ar, aber praktisch kein Helium. Wohin und warum verschwindet das Helium? Die Geschwindigkeit der Gasmoleküle 123.1 James Clerk Maxwell (1831–1879), englischer Physiker und Mathematiker. Maxwell nutzte die Methoden der mathematischen Statistik, um die Verteilung der Molekülgeschwindigkeiten zu berechnen. Er begründete damit die statistische Physik. Eine zweite Meisterleistung gelang ihm in der Elektrizitätslehre. 123.2 Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung der Geschwindigkeiten von Stickstoffmolekülen zeigt, wie die Moleküle mit steigender Temperatur schneller werden. 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 Geschwindigkeit in m/s v Häufigkeit T = 273 K T = 800 K T = 1200 K T = 2500 K T = 4000 K Stickstoff N2 Boltzmanns Berechnung der Energie- und Geschwindigkeitsverteilungen von Gasteilchen gelang dank einer revolutionären Idee. Er führte – noch vor der Quantenmechanik – Energiequanten ein. Er schrieb: Wir nehmen an, wir hätten N Moleküle. Jedes sei imstande, die kinetische Energie 0, e, 2e, 3e, … n·e anzunehmen, und zwar sollen diese Energien auf alle möglichen Weisen unter den N Molekülen verteilt werden, jedoch so, dass [ihre] Gesamtsumme […] immer […] U = n·e ist. (Zitat in moderner Ausdrucksweise nach Boltzmanns Originalarbeit (1877)) 123 Thermodynamik 3 Das ideale Gas Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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