Mit Hilfe dieser Vorstellung kann man den Druck berechnen, den die vielen Teilchen des Gases auf die Behälterwände ausüben. Es zeigt sich, dass der Druck proportional zur mittleren kinetischen Energie _ Ek der Teilchen ist. Außerdem sagt uns die Zustandsgleichung des idealen Gases, dass der Druck zur Temperatur proportional ist, wenn sich das Volumen nicht ändert. Es gilt also: p ~ _ Ek , p ~ T, daher _ Ek ~ T Man erhält das wichtige Resultat: Die mittlere kinetische Energie der Teilchen eines Gases ist proportional zur absoluten Temperatur. Der Proportionalitätsfaktor k hat für alle Gase den gleichen Wert. _ E k = 3 _ 2 k·T k = 1,38·10−23 J/K = Boltzmann Konstante Diese Beziehung zwischen der mittleren kinetischen Energie der Moleküle und der absoluten Temperatur gilt universell – für Gase, für Flüssigkeiten und Festkörper. 122.1 Ludwig Boltzmann (1844–1906) lehrte in Graz, Wien, München und Leipzig. Er vertrat konsequent die Atom- und Molekulartheorie der Materie, die sich damals zwar in der Chemie, aber noch nicht in der Physik durchgesetzt hatte. Boltzmann leistete bedeutende Beiträge zur statistischen Thermodynamik. Um den von vielen Molekülen verursachten Druck zu berechnen, stellen wir uns ein ideales Gas vor, das in einem würfelförmigen Behälter eingeschlossen ist. Die Gasmoleküle fliegen darin völlig regellos umher. Zerlegt man die Geschwindigkeit eines einzelnen Moleküls in 3 Komponenten, die in Richtung der Würfelkanten liegen, so ergeben sich 6 verschiedene Bewegungsrichtungen: vor, zurück, links, rechts, hinauf und hinunter. Keine Richtung ist gegenüber der anderen bevorzugt. Daher bewegt sich im Durchschnitt je ein Sechstel der Moleküle senkrecht auf eine der sechs Wandflächen A des Würfels zu (121.3). Zur Vereinfachung sollen zunächst alle Moleküle dieselbe Geschwindigkeit haben. Wenn sich N Teilchen im Volumen V befinden, dann ist die Teilchendichte N/V. Während des Zeitintervalls Δt stoßen jene Teilchen an die Wand, die ihr näher als der Abstand s = v·Δt sind, den sie mit der Geschwindigkeit v während Δt zurücklegen. Es treffen daher auf die Fläche A insgesamt 1 _ 6 ( N _ V )·(v·Δt)·A Moleküle. Jedes Molekül (Masse m) hat vor dem Stoß die Geschwindigkeit v, nach dem Stoß −v. Die Geschwindigkeitsänderung während der Zeit Δt beträgt daher −2 v und die mittlere Beschleunigung −2 v/Δt. Die Kraft der Wand auf ein einzelnes Molekül ist daher −2 m·v/Δt. Umgekehrt übt dadurch jedes auftreffende Molekül auf die Wand die Kraft +2 m·v/Δt aus. Die Kräfte aller im Zeitintervall Δt auf die Wand treffenden Teilchen müssen addiert werden, ihre Summe ergibt die Kraft F der Teilchen auf die Wand: F = 1 _ 6 ( N _ V A·v·Δt) 2 m·v __ Δt = 2 _ 3 · N _ V ·A· m·v2 _ 2 Nach der Mittelwertbildung über die unterschiedlichen kinetischen Energien Ek = = 1 _ 2 m·v 2 der Moleküle ergibt sich der Druck auf die Wand: p = F _ A = = 2 _ 3 · N _ V · _ Ek Den Zusammenhang zwischen _ Ek und T erhalten wir, indem wir p mittels der Zustandsgleichung einsetzen und N = n·NA verwenden: p = n·R _ V ·T _ E k = 3 _ 2 · V _ n·NA · n·R _ V ·T = 3 _ 2 · R _ NA ·T = 3 _ 2 ·k·T Die Boltzmann-Konstante k = R _ NA ist im SI-System als Naturkonstante mit einem exakten Wert definiert. k·T ist im atomaren Bereich ein Maß für typische Energien. Bernoullis Überlegungen Mittelung über die kinetischen Energien von n Molekülen Die Moleküle haben kinetische Energien Ek,1, Ek,2 , … Ek,n . Der Mittelwert der kinetischen Energien ist _ E k = Ek,1 + Ek,2 + … + Ek,n ___ n 122 Thermodynamik 3 Das ideale Gas Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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