7 B GRUNDBEGRIFFE DER DIFFERENTIALRECHNUNG Differentialquotient als Tangentensteigung Der Differenzenquotient einer Funktion f in einem Intervall [x; z] ist gleich der Steigung der Sekante des Funktionsgraphen in diesem Intervall, d.h. gleich der Steigung der Geraden durch die Punkte X = (x 1 f (x)) und Z = (z 1 f (z)). Nähert sich z unbegrenzt der Stelle x, so nähert sich der Punkt Z unbegrenzt dem Punkt X und die Sekante nähert sich unbegrenzt einer „Grenzgeraden“ t. Die Steigung dieser „Grenzgeraden“ ist der Grenzwert der Sekantensteigungen: Steigung dieser „Grenzgeraden“ = lim z ¥ x f(z) – f(x) _ z – x = f’ (x). Die Gerade durch den Punkt X (x 1 f (x)) mit der Steigung f’ (x) bezeichnet man als Tangente an den Graphen von f im Punkt X. Die Steigung f’ (x) dieser Tangente heißt auch Steigung der Funktion f an der Stelle x. Vorzeichen von f’ (x) x f f (x) f’(x) > 0 x f (x) f f’(x) < 0 x f (x) f f’(x) = 0 Ist f’ (x) > 0, so ist die Steigung der Tangente im Punkt (x 1 f (x)) positiv und die Tangente somit eine steigende Gerade. Ist f’ (x) < 0, so ist die Steigung der Tangente im Punkt (x 1 f (x)) negativ und die Tangente somit eine fallende Gerade. Ist f’ (x) = 0, so ist die Steigung der Tangente im Punkt (x 1 f (x)) gleich 0 und die Tangente somit parallel zur ersten Achse. Richtungsvektor der Tangente Der Vektor (1 1 f’ (x 0 )) ist ein Richtungsvektor der Tangente an den Graphen im Punkt X0 (x0 1 f (x0)). Eine Parameterdarstellung dieser Tangente ist gegeben durch: t: X = ( x 0 f (x 0) ) + s · ( 1 f’ (x0) ) Ableitungsfunktion Sei f: A ¥ R eine reelle Funktion, für die an jeder Stelle x0 * A der Differentialquotient f’ (x0) existiert. Dann ist durch f’: x ¥ f’ (x) wiederum eine Funktion definiert. Man nennt f’ die Ableitungsfunktion von f (kurz die Ableitung von f). Das Berechnen der Ableitungsfunktion nennt man Ableiten oder Differenzieren. Ableitungsregeln für Polynomfunktionen Ableitung einer konstanten Funktion: f(x) = c w f’ (x) = 0 (c * R) Potenzregel für natürliche Exponenten: f (x) = xn w f’ (x) = n · xn – 1 (n * N*) Regel vom konstanten Faktor: f (x) = c · g (x) w f’ (x) = c · g’ (x) (c * R) Summenregel: f(x) = g(x) + h(x) w f’ (x) = g’ (x) + h’ (x) Ableitung einer Polynomfunktion: f (x) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 w f’ (x) = n · a n · x n – 1 + (n – 1) · a n – 1 · x n – 2 + … + a 1 f t Z X z x f (x) f (z) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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