6 B GRUNDBEGRIFFE DER DIFFERENTIALRECHNUNG GRUNDKOMPETENZEN FÜR DIE REIFEPRÜFUNG Den Zusammenhang Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) – Differentialquotient (momentane Änderungsrate) auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffs kennen und damit (verbal sowie in formaler Schreibweise) auch kontextbezogen arbeiten können. Den Differenzen- und Differentialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differentialquotienten beschreiben können. Einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, … AN-R 1.2 AN-R 1.3 AN-R 2.1 GRUNDBEGRIFFE DER DIFFERENTIALRECHNUNG B Grundwissen in Kurzform Geschwindigkeit Bewegt sich ein Körper gemäß der Zeit-Ort-Funktion s: t ¦ s (t), dann setzt man: Mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [t1 ; t 2] = ‾v (t1; t2) = s (t 2) – s (t 1) _ t 2 – t 1 Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = v (t) = lim z ¥ t ‾v(t; z) = lim z ¥ t s(z) – s(t) _ z – t Differenzenquotient und Differentialquotient Es sei f: A ¥ R eine reelle Funktion und [a; b] a A. Die Zahl f(b) – f(a) _ b – a heißt Differenzenquotient oder mittlere Änderungsrate von f in [a; b]. Der Grenzwert f’ (x) = lim z ¥ x f(z) – f(x) _ z – x heißt Differentialquotient von f an der Stelle x oder Änderungsrate von f an der Stelle x. (Mittlere) Änderungsgeschwindigkeiten sind Spezialfälle von (mittleren) Änderungsraten, wobei x die Zeit ist. Geometrische Deutung des Differenzenquotienten Es sei f: A ¥ R eine reelle Funktion und [a; b] a A. Die lineare Funktion s mit s(a) = f(a) und s(b) = f(b) heißt Sekantenfunktion von f in [a; b]. Der Differenzenquotient (die mittlere Änderungsrate) der Funktion f in [a; b] ist gleich der Steigung der Sekantenfunktion von f in [a; b]. Zwei Auffassungen des Differenzenquotienten Ein Differenzenquotient f(b) – f(a) _ b – a kann aufgefasst werden als Verhältnis der Änderung der Funktionswerte zur Änderung der Argumente in [a; b], mittlere Änderung der Funktionswerte pro Argumenteinheit im Intervall [a; b]. Er ist ein Maß dafür wie „rasch“ eine Funktion in einem Intervall im Mittel wächst oder fällt. b – a f (a) = s (a) f (b) = s (b) f (b) – f (a) = = s (b) – s (a) a b s f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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