3 GRUNDKOMPETENZEN FÜR DIE REIFEPRÜFUNG Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Gleichungen, Umformungen, Lösbarkeit. Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Polynomfunktionen Funktionswerte, aus Tabellen und Graphen sowie aus einer quadratischen Funktionsgleichung Argumentwerte ermitteln können. Den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der (möglichen) Null-, Extrem- und Wendestellen wissen. AG-R 1.2 FA-R 4.3 FA-R 4.4 GLEICHUNGEN UND POLYNOMFUNKTIONEN A Grundwissen in Kurzform Polynome und Gleichungen vom Grad n (1) E in Ausdruck der Form a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 (mit n * N, an , an – 1 , …, a0 * R und an ≠ 0) heißt Polynom vom Grad n. (2) E ine Gleichung der Form a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 (mit n * N, an , an – 1 , …, a0 * R und an ≠ 0) heißt (algebraische) Gleichung vom Grad n. (3) E ine reelle Funktion f mit f (x) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 (mit n * N, an , an – 1 , …, a0 * R und an ≠ 0) heißt Polynomfunktion vom Grad n. Abspalten von Linearfaktoren Ist f (x) ein Polynom vom Grad n und α eine Lösung der Gleichung f (x) = 0, dann gilt f(x) = (x – α ) · g (x) für alle x * R, wobei g (x) ein Polynom vom Grad n – 1 ist. Hat eine algebraische Gleichung f (x) = 0 vom Grad n mehrere Lösungen α 1 , α 2 , …, α k , so kann man fortlaufend Linearfaktoren abspalten und erhält: f(x)=(x–α 1) · (x – α 2) · … · (x – α k) · g (x) Da f (x) vom Grad n ist, lassen sich höchstens n Linearfaktoren abspalten. Anzahl von Lösungen bzw. Nullstellen Für eine algebraische Gleichung f (x) = 0 gilt: Die Lösungen der Gleichung f (x) = 0 sind identisch mit den Nullstellen von f. Da man von f (x) höchstens n Linearfaktoren abspalten kann, ergeben sich die beiden äquivalenten Aussagen: Eine algebraische Gleichung vom Grad n besitzt höchstens n reelle Lösungen. Eine Polynomfunktion vom Grad n besitzt höchstens n Nullstellen. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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