12 C UNTERSUCHEN VON POLYNOMFUNKTIONEN GRUNDKOMPETENZEN FÜR DIE REIFEPRÜFUNG Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen können: Monotonie, Monotoniewechsel (lokale Extrema), Wendepunkte, Periodizität, Achsensymmetrie, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen. Typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion (er)kennen. Den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen wissen. Den Begriff Ableitungsfunktion kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können. Den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (bzw. Funktion und Stammfunktion) in deren grafischer Darstellung (er)kennen und beschreiben können. Eigenschaften von Funktionen mit Hilfe der Ableitung (sfunktion) beschreiben können: Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen. FA-R 1.5 FA-R 4.1 FA-R 4.4 AN-R 3.1 AN-R 3.2 AN-R 3.3 UNTERSUCHEN VON POLYNOMFUNKTIONEN C Grundwissen in Kurzform Monotonie von Funktionen Es sei f: A ¥ R eine reelle Funktion und M eine Teilmenge von A. Die Funktion f heißt monoton steigend in M, wenn für alle x1 , x2 * M gilt: x1 < x2 w f (x1) ª f (x2) monoton fallend in M, wenn für alle x1 , x2 * M gilt: x1 < x2 w f (x1) º f (x2) streng monoton steigend in M, wenn für alle x1 , x2 * M gilt: x1 < x2 w f (x1) < f (x2) streng monoton fallend in M, wenn für alle x1 , x2 * M gilt: x1 < x2 w f (x1) > f (x2) Extremstellen von Funktionen Sei f: A ¥ R eine reelle Funktion und M a A. Eine Stelle p * M heißt Maximumstelle von f in M, wenn f (x) ª f (p) für alle x * M. Minimumstelle von f in M, wenn f (x) º f (p) für alle x * M. Extremstelle von f in M, wenn p Maximumstelle oder Minimumstelle von f in M ist. Sei f: A ¥ R eine reelle Funktion. Eine Stelle p * A heißt globale Maximumstelle von f, wenn p Maximumstelle von f im Definitionsbereich Df ist. globale Minimumstelle von f, wenn p Minimumstelle von f im Definitionsbereich Df ist. globale Extremstelle von f, wenn p globale Maximumstelle oder globale Minimumstelle ist. lokale Maximumstelle von f, wenn es eine Umgebung U(p) a A gibt, sodass p Maximumstelle von f in U (p) ist, lokale Minimumstelle von f, wenn es eine Umgebung U(p) a A gibt, sodass p Minimumstelle von f in U (p) ist. lokale Extremstelle von f, wenn p lokale Maximumstelle oder lokale Minimumstelle von f ist. Unter einer Umgebung U(p) der Stelle p verstehen wir dabei ein beliebiges Intervall, das ganz in A liegt und p als innere Stelle enthält (dh. p ist nicht Randstelle dieses Intervalls). BEACHTE: Eine Randstelle von A kann keine lokale (wohl aber eine globale) Extremstelle von f sein. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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