7GRUNDKOMPETENZTRAINING Mathematik verstehen KOTH | DORNER
Mathematik verstehen Grundkompetenztraining 7, Arbeitsheft Schulbuchnummer 195130 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung, Wissenschaft und Forschung vom 9. August 2024, GZ 2024-0.457.715, gemäß §14 Abs. 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch für die 7. Klassen an allgemein bildenden höheren Schulen – Oberstufe im Unterrichtsgegenstand Mathematik (Lehrplan 2018) geeignet erklärt. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, Sie bekommen dieses Schulbuch von der Republik Österreich für Ihre Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Technische Zeichnungen: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig; imprint Ilona Külen, Zusmarshausen Bildnachweis: U1: Mag. Melanie Zimmermann / öbv, Wien; S. 64: Mag. Dr. Christian Dorner, BSc 1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2025 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Mag. Karin Drucks, Wien Herstellung: Ing. Bianca Mannsberger, Wien Umschlaggestaltung und Layout: normaldesign, Schwäbisch Gmünd Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn ISBN 978-3-209-12371-8 (Mathematik verstehen OS GK-Training AH 7) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Mathematik verstehen 7 GRUNDKOMPETENZTRAINING für die Reifeprüfung Hochschulprofessorin Mag. Dr. Maria Koth Hochschulprofessor Mag. Dr. Christian Dorner, BSc www.oebv.at KOTH | DORNER Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
2 INHALTSVERZEICHNIS TYP 1 – AUFGABEN A Gleichungen und Polynomfunktionen 3 B Grundbegriffe der Differentialrechnung 6 C Untersuchen von Polynomfunktionen 12 D Erweiterung der Differentialrechnung 22 E Anwendungen der Differentialrechnung in der Wirtschaft 26 F Wahrscheinlichkeitsverteilungen 31 G Die Binomialverteilung und weitere diskrete Verteilungen 38 H Komplexe Zahlen 44 I Wiederholungsaufgaben zu diversen Reifeprüfungsgrundkompetenzen 46 TYP 2 – AUFGABEN 58 LÖSUNGEN 69 I. II. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3 GRUNDKOMPETENZEN FÜR DIE REIFEPRÜFUNG Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Gleichungen, Umformungen, Lösbarkeit. Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Polynomfunktionen Funktionswerte, aus Tabellen und Graphen sowie aus einer quadratischen Funktionsgleichung Argumentwerte ermitteln können. Den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der (möglichen) Null-, Extrem- und Wendestellen wissen. AG-R 1.2 FA-R 4.3 FA-R 4.4 GLEICHUNGEN UND POLYNOMFUNKTIONEN A Grundwissen in Kurzform Polynome und Gleichungen vom Grad n (1) E in Ausdruck der Form a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 (mit n * N, an , an – 1 , …, a0 * R und an ≠ 0) heißt Polynom vom Grad n. (2) E ine Gleichung der Form a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 (mit n * N, an , an – 1 , …, a0 * R und an ≠ 0) heißt (algebraische) Gleichung vom Grad n. (3) E ine reelle Funktion f mit f (x) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 (mit n * N, an , an – 1 , …, a0 * R und an ≠ 0) heißt Polynomfunktion vom Grad n. Abspalten von Linearfaktoren Ist f (x) ein Polynom vom Grad n und α eine Lösung der Gleichung f (x) = 0, dann gilt f(x) = (x – α ) · g (x) für alle x * R, wobei g (x) ein Polynom vom Grad n – 1 ist. Hat eine algebraische Gleichung f (x) = 0 vom Grad n mehrere Lösungen α 1 , α 2 , …, α k , so kann man fortlaufend Linearfaktoren abspalten und erhält: f(x)=(x–α 1) · (x – α 2) · … · (x – α k) · g (x) Da f (x) vom Grad n ist, lassen sich höchstens n Linearfaktoren abspalten. Anzahl von Lösungen bzw. Nullstellen Für eine algebraische Gleichung f (x) = 0 gilt: Die Lösungen der Gleichung f (x) = 0 sind identisch mit den Nullstellen von f. Da man von f (x) höchstens n Linearfaktoren abspalten kann, ergeben sich die beiden äquivalenten Aussagen: Eine algebraische Gleichung vom Grad n besitzt höchstens n reelle Lösungen. Eine Polynomfunktion vom Grad n besitzt höchstens n Nullstellen. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
4 A GLEICHUNGEN UND POLYNOMFUNKTIONEN A.1 Gib jeweils ein Beispiel einer Gleichung vierten Grades an, die: – keine Lösungen hat – genau eine Lösung hat – genau zwei Lösungen hat – genau drei Lösungen hat A.2 Zeige, dass x = – 2 Lösung der Gleichung 4 x3 – 13 x + 6 = 0 ist und ermittle die restlichen Lösungen der Gleichung! A.3 Zeige, dass x = 2 Lösung der Gleichung x4 + x3 – 22 x2 – 16 x + 96 = 0 ist und ermittle die restlichen Lösungen der Gleichung! A.4 Ermittle durch Probieren eine Lösung der gegebenen Gleichung und berechne danach die weiteren Lösungen! a) x3 + 4 x2 –15x–18=0 b) 9 x3 – 30 x2 +28x–8=0 A.5 Kreuze jene beiden Gleichungen an, a) die genau eine Lösung haben, b) die genau zwei verschiedene Lösungen haben! x3 + x = 0 x3 – x = 0 x4 + x = 0 x4 – x2 = 0 x4 + x2 = 0 x5 – x2 = 0 x6 + x = 0 x5 – x4 = 0 x6 + x3 = 0 x6 – x4 = 0 A.6 Ordne jeder Gleichung in der linken Tabelle die Anzahl ihrer Lösungen aus der rechten Tabelle zu! a) x3 – 6 x2 +10x=0 x4 + 2 x2 + 1 = 0 A 0 B 1 C 2 D 3 b) x4 – 4 x2 – 12 = 0 x6 – 6 x4 + 8 x2 = 0 A 2 B 3 C 4 D 5 A.7 Eine Gleichung der Form x3 + a x2 + b x + c = 0 hat die Lösungen x 1 , x2 und x3 . Berechne a, b und c! a) x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3 b) x1 = – 2, x2 = 0, x3 = 4 a = , b = , c = a = , b = , c = A.8 Eine Gleichung der Form x4 + a x3 + b x2 + c x + d = 0 hat die Lösungen x 1 , x2 , x3 und x4 . Berechne a, b, c und d! a) x1 = – 2, x2 = 0, x3 = 2, x4 = 3 b) x1 = x2 = – 3, x3 = x4 = 4 a = , b = , c = , d = a = , b = , c = , d = ÜBEN FÜR DIE REIFEPRÜFUNG AG-R 1.2 AG-R 1.2 AG-R 1.2 AG-R 1.2 AG-R 1.2 AG-R 1.2 AG-R 1.2 AG-R 1.2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
5 A GLEICHUNGEN UND POLYNOMFUNKTIONEN A.9 Eine Gleichung der Form 1 _ 4 x 4 + a x2 + b = 0 hat die Lösungen ± 2 und ± 4. Berechne a und b! a = , b = A.10 Kreuze jene beiden Funktionen an, a) die mehr als zwei Nullstellen haben, b) die keine Nullstellen haben! f (x) = x 6 – x3 f (x) = x 3 + x 2 + 4 f (x) = x 4 – 2 x2 – 3 f (x) = x 4 +2x+1 f (x) = x 6 – 1 f (x) = 2 x2 +4x+3 f (x) = x 4 – 4 x2 + 3 f (x) = x 4 + 2 x2 + 1 f (x) = x 5 – x3 f (x) = 2 x4 + 4 x3 A.11 Sei f: R ¥ R eine Polynomfunktion mit f (x) = x4 + b x2 + c. Kreuze die beiden falschen Aussagen an! Ist b < 0 und c = 0, so hat die Funktion f genau drei Nullstellen. Hat die Funktion f vier Nullstellen, so ist b < 0. Ist c > 0, so hat die Funktion keine Nullstellen. Ist b < 0, so hat die Funktion f mindestens zwei Nullstellen. Ist c < 0, so hat die Funktion f genau zwei Nullstellen. A.12 Die vier Abbildungen zeigen Graphen von Polynomfunktionen dritten Grades. Ordne jeder Zuordnungsvorschrift in der linken Tabelle einen passenden Graphen aus der rechten Tabelle zu! x ¦ x3 –2,5x+2 A f 1 x ¦ 2 x3 – 3 x2 –3x+2 B f 2 C f3 D f4 x f1(x) 1 2 3 –2 –1 1 2 3 4 –3 –2 –1 0 f1 x f2(x) 1 2 –2 –1 1 2 3 4 –2 –1 0 f2 x f3(x) 1 2 –2 –1 1 2 3 4 –2 –1 0 f3 x f4(x) 1 2 –2 –1 1 2 3 4 –2 –1 0 f4 A.13 Die folgenden Abbildungen zeigen Graphen zweier Polynomfunktionen f und g vierten Grades. Gib jeweils die Nullstellen dieser Funktionen an und ermittle eine Funktionsgleichung! x f(x) 1 2 3 4 –1 1 2 –3 –2 –1 0 f Nullstellen von f: f (x) = Nullstellen von g: g (x) = x g(x) 1 2 3 4 –3 –2 –1 1 –4 –3 –2 –1 0 g AG-R 1.2 FA-R 4.3 FA-R 4.3 FA-R 4.3 FA-R 4.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
6 B GRUNDBEGRIFFE DER DIFFERENTIALRECHNUNG GRUNDKOMPETENZEN FÜR DIE REIFEPRÜFUNG Den Zusammenhang Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) – Differentialquotient (momentane Änderungsrate) auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffs kennen und damit (verbal sowie in formaler Schreibweise) auch kontextbezogen arbeiten können. Den Differenzen- und Differentialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differentialquotienten beschreiben können. Einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, … AN-R 1.2 AN-R 1.3 AN-R 2.1 GRUNDBEGRIFFE DER DIFFERENTIALRECHNUNG B Grundwissen in Kurzform Geschwindigkeit Bewegt sich ein Körper gemäß der Zeit-Ort-Funktion s: t ¦ s (t), dann setzt man: Mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [t1 ; t 2] = ‾v (t1; t2) = s (t 2) – s (t 1) _ t 2 – t 1 Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = v (t) = lim z ¥ t ‾v(t; z) = lim z ¥ t s(z) – s(t) _ z – t Differenzenquotient und Differentialquotient Es sei f: A ¥ R eine reelle Funktion und [a; b] a A. Die Zahl f(b) – f(a) _ b – a heißt Differenzenquotient oder mittlere Änderungsrate von f in [a; b]. Der Grenzwert f’ (x) = lim z ¥ x f(z) – f(x) _ z – x heißt Differentialquotient von f an der Stelle x oder Änderungsrate von f an der Stelle x. (Mittlere) Änderungsgeschwindigkeiten sind Spezialfälle von (mittleren) Änderungsraten, wobei x die Zeit ist. Geometrische Deutung des Differenzenquotienten Es sei f: A ¥ R eine reelle Funktion und [a; b] a A. Die lineare Funktion s mit s(a) = f(a) und s(b) = f(b) heißt Sekantenfunktion von f in [a; b]. Der Differenzenquotient (die mittlere Änderungsrate) der Funktion f in [a; b] ist gleich der Steigung der Sekantenfunktion von f in [a; b]. Zwei Auffassungen des Differenzenquotienten Ein Differenzenquotient f(b) – f(a) _ b – a kann aufgefasst werden als Verhältnis der Änderung der Funktionswerte zur Änderung der Argumente in [a; b], mittlere Änderung der Funktionswerte pro Argumenteinheit im Intervall [a; b]. Er ist ein Maß dafür wie „rasch“ eine Funktion in einem Intervall im Mittel wächst oder fällt. b – a f (a) = s (a) f (b) = s (b) f (b) – f (a) = = s (b) – s (a) a b s f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
7 B GRUNDBEGRIFFE DER DIFFERENTIALRECHNUNG Differentialquotient als Tangentensteigung Der Differenzenquotient einer Funktion f in einem Intervall [x; z] ist gleich der Steigung der Sekante des Funktionsgraphen in diesem Intervall, d.h. gleich der Steigung der Geraden durch die Punkte X = (x 1 f (x)) und Z = (z 1 f (z)). Nähert sich z unbegrenzt der Stelle x, so nähert sich der Punkt Z unbegrenzt dem Punkt X und die Sekante nähert sich unbegrenzt einer „Grenzgeraden“ t. Die Steigung dieser „Grenzgeraden“ ist der Grenzwert der Sekantensteigungen: Steigung dieser „Grenzgeraden“ = lim z ¥ x f(z) – f(x) _ z – x = f’ (x). Die Gerade durch den Punkt X (x 1 f (x)) mit der Steigung f’ (x) bezeichnet man als Tangente an den Graphen von f im Punkt X. Die Steigung f’ (x) dieser Tangente heißt auch Steigung der Funktion f an der Stelle x. Vorzeichen von f’ (x) x f f (x) f’(x) > 0 x f (x) f f’(x) < 0 x f (x) f f’(x) = 0 Ist f’ (x) > 0, so ist die Steigung der Tangente im Punkt (x 1 f (x)) positiv und die Tangente somit eine steigende Gerade. Ist f’ (x) < 0, so ist die Steigung der Tangente im Punkt (x 1 f (x)) negativ und die Tangente somit eine fallende Gerade. Ist f’ (x) = 0, so ist die Steigung der Tangente im Punkt (x 1 f (x)) gleich 0 und die Tangente somit parallel zur ersten Achse. Richtungsvektor der Tangente Der Vektor (1 1 f’ (x 0 )) ist ein Richtungsvektor der Tangente an den Graphen im Punkt X0 (x0 1 f (x0)). Eine Parameterdarstellung dieser Tangente ist gegeben durch: t: X = ( x 0 f (x 0) ) + s · ( 1 f’ (x0) ) Ableitungsfunktion Sei f: A ¥ R eine reelle Funktion, für die an jeder Stelle x0 * A der Differentialquotient f’ (x0) existiert. Dann ist durch f’: x ¥ f’ (x) wiederum eine Funktion definiert. Man nennt f’ die Ableitungsfunktion von f (kurz die Ableitung von f). Das Berechnen der Ableitungsfunktion nennt man Ableiten oder Differenzieren. Ableitungsregeln für Polynomfunktionen Ableitung einer konstanten Funktion: f(x) = c w f’ (x) = 0 (c * R) Potenzregel für natürliche Exponenten: f (x) = xn w f’ (x) = n · xn – 1 (n * N*) Regel vom konstanten Faktor: f (x) = c · g (x) w f’ (x) = c · g’ (x) (c * R) Summenregel: f(x) = g(x) + h(x) w f’ (x) = g’ (x) + h’ (x) Ableitung einer Polynomfunktion: f (x) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 w f’ (x) = n · a n · x n – 1 + (n – 1) · a n – 1 · x n – 2 + … + a 1 f t Z X z x f (x) f (z) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
8 B GRUNDBEGRIFFE DER DIFFERENTIALRECHNUNG B.1 Berechne die mittlere Änderungsrate von f im angegebenen Intervall! a) f(x) = 2x3 – 3 x, [0; 3] b) f(x)=x–8 _ x2 , [1; 4] B.2 Die Abbildung zeigt den Graphen einer reellen Funktion f. Berechne: a) die mittlere Änderungsrate von f in [– 2; 6]: b) die absolute Änderung von f in [– 3; 4]: c) den Differenzenquotienten von f in [2; 7]: B.3 a) Ordne jeder Funktion in der linken Tabelle b) Ordne jeder Funktion in der linken Tabelle ihren Differenzenquotienten im Intervall ihre mittlere Änderungsrate im Intervall [1; 4] zu! [2; 4] zu! x ¦ x3 – 3 x2 A 1 x ¦ x2 – 5 x A – 4 x ¦ 6 � _ x + x B 3 x ¦ 5 x + 8 _ x B – 1 C 6 C 1 D 9 D 4 B.4 Schreibe den Differenzenquotienten der Funktion f im angegebenen Intervall an und vereinfache das Ergebnis! a) f(x) = 3x2 + 2 x, [x 1; x2 ] b) f(x) = 4 _ x +3,[a;a+h] B.5 Von einer reellen Funktion kennt man den Funktionswert f (–1) = 4. Der Differenzenquotient von f im Intervall [–1; 3] beträgt 2. Berechne den Funktionswert von f an der Stelle 3! f (3) = B.6 Von einer reellen Funktion kennt man den Funktionswert f (2) = 4. Der Differenzenquotient von f im Intervall [0; 2] beträgt –1, der Differenzenquotient in [2; 5] beträgt 1 und der Differenzenquotient in [0; 6] beträgt – 2. Berechne die Funktionswerte f (0), f (5) und f (6)! f (0) = , f (5) = , f (6) = B.7 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f: [– 6; 6] ¥ R. Kreuze die beiden richtigen Aussagen an! Die mittlere Änderungsrate von f in [– 6; 0] beträgt 0,5. Der Differenzenquotient von f in [0; 4] beträgt 1. Die Steigung der Sekantenfunktion in [– 4; 1] beträgt 0,8. Die Änderung der Funktionswerte in [– 4; 0] beträgt 1,5. Die mittlere Änderungsrate ist in keinem Intervall gleich 0. ÜBEN FÜR DIE REIFEPRÜFUNG AN-R 1.3 AN-R 1.3 x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 –4 –2 1 2 3 4 5 6 –2 0 f AN-R 1.3 AN-R 1.3 AN-R 1.3 AN-R 1.3 x f(x) 1 2 3 4 5 6 –6 –4 –2 1 2 3 4 5 6 7 –2 0 f AN-R 1.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
9 B GRUNDBEGRIFFE DER DIFFERENTIALRECHNUNG B.8 Gib jeweils zwei Beispiele für Intervalle [a; b] an, sodass der Differenzenquotient der gegebenen Funktion f in [a; b] mit a) f(x) = 1 _ 4 x 2 + 1 den Wert 2 hat, b) f(x) = 12 _ x + 4 den Wert – 2 hat! B.9 Gib ein Intervall [a; b] und eine Funktionsgleichung einer Funktion f an, sodass f in [a; b] a) einen positiven Differenzenquotienten hat, b) einen negativen Differenzenquotienten hat, aber nicht monoton steigend ist, aber nicht monoton fallend ist! B.10 Schreibe den Differentialquotienten der Funktion f an der Stelle x als Grenzwert des zugehörigen Differenzenquotienten an und vereinfache das Ergebnis! a) f(x) = 2x2 +3x,x=3 b) f(x) = 2 _ x +1,x=2 B.11 Kreuze jeweils die beiden richtigen Aussagen an! a) f(x) = 4 + 2x w f’(–1) < 0 b) f(x) = 2x2 – 4 w f’(1) = 0 f(x) = 6x – 3x2 w f’ (1) > 0 f(x) = 2x3 – 3 x2 w f’(–1) = 0 f (x) = x4 – x5 w f’(–1) > 0 f(x) = 3x2 + 8 x w f’(–1) = 2 f (x) = x4 – 3 x2 w f’ (1) < 0 f(x) = 2x4 – x5 w f’(–1) = 3 f (x) = x2 + 3 x w f’(–1) > 0 f (x) = x3 + x4 w f’ (1) = 7 B.12 Ordne jeder Funktion in der linken Tabelle eine richtige Aussage aus der rechten Tabelle zu! a) f (x) = 3 _ 4 x 5 A f’ (2) = 60 b) f (x) = 10 x3 A f’’ (2) = 0 f (x) = 5 _ 4 x 6 B f’ (2) = 120 f (x) = 30 x2 B f’’ (2) = 60 C f’ (2) = 240 C f’’ (2) = 120 D f’ (2) = 480 D f’’ (2) = 240 B.13 Kreuze jeweils die beiden richtigen Aussagen an! a) f(x)=a–2x2 w f’(x) = a – 4x b) f (x) = x2 – a w f’(x) = 2x – 1 f(x) = 2x3 + a x w f’(x) = 6x + a f (x) = a _ 4 x 4 w f’(x) = ax3 f (x) = a _ 3 x 3 + 3 w f’(x) = ax2 f (x) = x5 – a5 w f’(x) = 5x4 – 5 a4 f (x) = a4 x5 w f’(x) = 5a4 x4 f (x) = a2 – x3 w f’(x) = 2a – 3x2 f (x) = a3 x3 w f’(x) = 3a2 x2 f (x) = a3 x3 – x2 w f’(x) = 3a3 x2 – 2 x B.14 Gegeben ist die Formel F = 1 _ 2 · c 2 M4 – b3 c M2. Berechne die folgenden Ableitungen! a) d F _ d b = b) d F _ d c = c) d F _ d M = AN-R 1.3 AN-R 1.3 AN-R 1.2 AN-R 2.1 AN-R 2.1 AN-R 2.1 AN-R 2.1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
10 B GRUNDBEGRIFFE DER DIFFERENTIALRECHNUNG B.15 Wird eine Kugel von der 90 m hoch gelegenen Plattform eines Aussichtsturmes fallen gelassen, so ist der zurückgelegte Weg s (in m) nach t Sekunden annähernd gegeben durch s(t) = 5 t2. Berechne die mittlere Geschwindigkeit der Kugel in den ersten 3 Sekunden! B.16 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Zeit-Ort-Funktion s: t ¦ s (t), wobei t in Sekunden und s (t) in Meter angegeben ist. Berechne näherungsweise die Durchschnittsgeschwindigkeit a) im Zeitintervall [0; 10]: b) im Zeitintervall [6; 10]: c) im Zeitintervall [8; 10]: B.17 Die Höhe eines lotrecht nach oben geschossenen Steins zum Zeitpunkt t ist ungefähr gegeben durch h (t) = v0 t – 5 t 2, wobei v 0 die Abschussgeschwindigkeit ist (t in Sekunden, h (t) in Meter, v0 in m/s). Berechne für v0 = 24 m/s die Geschwindigkeit des Steins zum Zeitpunkt 2! v (2) = B.18 Der Weg s (in m), den ein Körper bei seiner Bewegung zurück legt, lässt sich annähernd durch die Funktionsgleichung s (t) = 1 _ 2 t 3 + t beschreiben. Die Zeit t wird dabei in Sekunden gemessen. – Gib die Geschwindigkeit des Körpers zum Zeitpunkt t = 3 an! v (3) = – Gib die Beschleunigung des Körpers zum Zeitpunkt t = 3 an! a (3) = B.19 Wird eine Kugel von der 180 m hoch gelegenen Dachterrasse eines Hochhauses fallen gelassen, so ist der zurückgelegte Weg s (in m) nach t Sekunden gegeben durch s(t) = 5 t2. Berechne, mit welcher Geschwindigkeit die Kugel am Boden ankommt! B.20 Für den Strömungswiderstand F (v) eines mit der Geschwindigkeit v fliegenden Flugzeugs gilt ungefähr F (v) = 2,3 · v2, wobei F (v) in Newton und v in km/h angegeben ist. Berechne die Änderungsrate des Strömungswiderstands bezüglich der Geschwindigkeit bei einer Geschwindigkeit von 600 km/h! B.21 Die kinetische Energie eines Autos, dessen Geschwindigkeit gleichmäßig zunimmt, sei gegeben durch E (t) = 5 000 · t2, wobei t in Sekunden und E (t) in Joule gemessen wird. – Berechne die mittlere Zunahme der kinetischen Energie im Zeitintervall [0; 5]! – Berechne die Zunahmegeschwindigkeit der kinetischen Energie zum Zeitpunkt 5! B.22 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f sowie drei Tangenten an den Graphen. Bestimme die gesuchten Werte! a) x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 –2 1 2 3 4 5 6 7 8 –2 0 f f’ (2) = f’ (4) = f’ (6) = b) x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 –2 1 2 3 4 5 6 7 –4 –2 0 f f’ (1) = f’ (3) = f’ (5) = AN-R 1.2 t s(t) 1234567891011 25 50 75 100 125 150 175 0 s AN-R 1.3 AN-R 1.2 AN-R 1.2 AN-R 1.2 AN-R 1.2 AN-R 1.2 AN-R 1.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
11 B GRUNDBEGRIFFE DER DIFFERENTIALRECHNUNG B.23 a) O rdne jeder Funktion in der linken Tabelle b) Ordne jeder Funktion in der linken Tabelle die Steigung der Tangente an den Graphen die Änderungsrate der Funktion an der an der Stelle x = 0 zu! Stelle x = –1 zu! x ¦ 4 + 2 x A 0 x ¦ x2 + 2 x A – 1 x ¦ 2 x2 + 2 B 1 x ¦ 4 x – x3 B 0 C 2 C 1 D 3 D 2 B.24 Ermittle eine Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f an der Stelle p! a) f(x) =10 – 2x2, p = 2 b) f (x) = x2 + x 4, p = 1 B.25 Ermittle alle Stellen p * R, an denen die Tangente an den Graphen der Funktion f die Steigung k hat! a) f(x) = x3 – 9 x2 +15x+25,k=–9 b) f(x) = 1 _ 6 · (3 x 4 + 10 x3 – 9 x2 + 12 x), k = 2 B.26 Die Tangente an den Graphen der Funktion f mit f (x) = 2 x3 + a x2 + b im Punkt P = (–1 1 5) hat die Steigung k = – 2. Berechne a und b! a = , b = B.27 Die Gerade t (x) = – x – 4 ist Tangente an den Graphen der Funktion f mit f(x) = ax2 + bx +1 im Punkt P = (–1 1 – 3). Berechne a und b! a = , b = B.28 Sei a < b. Der Differenzenquotient einer Polynomfunktion f vierten Grades in [a; b] betrage –1. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! Es ist f (b) = – f (a). Die Funktion f ist in [a; b] streng monoton fallend. Es ist f(a) + a = f(b) + b. Die Funktion f ist in [a; b] nicht monoton steigend. Es ist f(b) – f(a) = –1. B.29 Was gibt der Differentialquotient einer Funktion f an einer Stelle x an? Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! die Ableitungsfunktion von f die Änderungsrate von f an der Stelle x die mittlere Änderungsrate von f im Intervall [x; x + 1] die Steigung der Sekantenfunktion von f im Intervall [x – 1; x + 1] die erste Ableitung von f an der Stelle x AN-R 1.3 AN-R 1.3 AN-R 1.3 AN-R 1.3 AN-R 1.3 AN-R 1.3 AN-R 1.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
12 C UNTERSUCHEN VON POLYNOMFUNKTIONEN GRUNDKOMPETENZEN FÜR DIE REIFEPRÜFUNG Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen können: Monotonie, Monotoniewechsel (lokale Extrema), Wendepunkte, Periodizität, Achsensymmetrie, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen. Typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion (er)kennen. Den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen wissen. Den Begriff Ableitungsfunktion kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können. Den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (bzw. Funktion und Stammfunktion) in deren grafischer Darstellung (er)kennen und beschreiben können. Eigenschaften von Funktionen mit Hilfe der Ableitung (sfunktion) beschreiben können: Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen. FA-R 1.5 FA-R 4.1 FA-R 4.4 AN-R 3.1 AN-R 3.2 AN-R 3.3 UNTERSUCHEN VON POLYNOMFUNKTIONEN C Grundwissen in Kurzform Monotonie von Funktionen Es sei f: A ¥ R eine reelle Funktion und M eine Teilmenge von A. Die Funktion f heißt monoton steigend in M, wenn für alle x1 , x2 * M gilt: x1 < x2 w f (x1) ª f (x2) monoton fallend in M, wenn für alle x1 , x2 * M gilt: x1 < x2 w f (x1) º f (x2) streng monoton steigend in M, wenn für alle x1 , x2 * M gilt: x1 < x2 w f (x1) < f (x2) streng monoton fallend in M, wenn für alle x1 , x2 * M gilt: x1 < x2 w f (x1) > f (x2) Extremstellen von Funktionen Sei f: A ¥ R eine reelle Funktion und M a A. Eine Stelle p * M heißt Maximumstelle von f in M, wenn f (x) ª f (p) für alle x * M. Minimumstelle von f in M, wenn f (x) º f (p) für alle x * M. Extremstelle von f in M, wenn p Maximumstelle oder Minimumstelle von f in M ist. Sei f: A ¥ R eine reelle Funktion. Eine Stelle p * A heißt globale Maximumstelle von f, wenn p Maximumstelle von f im Definitionsbereich Df ist. globale Minimumstelle von f, wenn p Minimumstelle von f im Definitionsbereich Df ist. globale Extremstelle von f, wenn p globale Maximumstelle oder globale Minimumstelle ist. lokale Maximumstelle von f, wenn es eine Umgebung U(p) a A gibt, sodass p Maximumstelle von f in U (p) ist, lokale Minimumstelle von f, wenn es eine Umgebung U(p) a A gibt, sodass p Minimumstelle von f in U (p) ist. lokale Extremstelle von f, wenn p lokale Maximumstelle oder lokale Minimumstelle von f ist. Unter einer Umgebung U(p) der Stelle p verstehen wir dabei ein beliebiges Intervall, das ganz in A liegt und p als innere Stelle enthält (dh. p ist nicht Randstelle dieses Intervalls). BEACHTE: Eine Randstelle von A kann keine lokale (wohl aber eine globale) Extremstelle von f sein. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
13 C UNTERSUCHEN VON POLYNOMFUNKTIONEN Extrempunkte des Graphen von f Sei f: A ¥ B eine reelle Funktion. Ist p eine lokale Maximumstelle von f, so nennt man den Punkt H = (p 1 f (p)) einen Hochpunkt des Graphen von f. Ist p eine lokale Minimumstelle von f, so nennt man den Punkt T = (p 1 f (p)) einen Tiefpunkt des Graphen von f. Die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von f nennt man Extrempunkte des Graphen von f. Bedingungen für Monotonie und Extremstellen Ist f: A ¥ R eine Polynomfunktion und I a A ein Intervall, dann gilt: (1) f’ (x) > 0 für alle inneren Stellen x * I w f ist streng monoton steigend in I (2) f’ (x) < 0 für alle inneren Stellen x * I w f ist streng monoton fallend in I (3) p ist lokale Extremstelle von f w f’(p) = 0 (4) Besitzt f’ keine Nullstelle in I, so gilt entweder f’ (x) > 0 für alle x * I oder f’ (x) < 0 für alle x * I. Die Nullstellen der Ableitung f’ zerlegen den Definitionsbereich von f in Monotonieintervalle, in denen f entweder streng monoton steigt oder streng monoton fällt. Als lokale Extremstellen kommen nur Randstellen der Monotonieintervalle und damit nur Nullstellen der Ableitung in Frage. Extremstellen von Polynomfunktionen in abgeschlossenen Intervallen Die Extremstellen einer Polynomfunktion f in einem abgeschlossenen Intervall [a; b] können folgendermaßen ermittelt werden: Man bestimmt die Nullstellen x1 , x2 , …, xn von f’ in [a; b] Man berechnet die Funktionswerte f (a), f (x1 ), f (x2), …f (xn) und f (b). Unter diesen Funktionswerten bestimmt man die größte Zahl M und die kleinste Zahl m. Alle Stellen mit dem Funktionswert M sind Maximumstellen von f in [a; b] und alle Stellen mit dem Funktionswert m sind Minimumstellen von f in [a; b]. Krümmung Sei f: A ¥ R eine reelle Funktion, f’: A ¥ R ihre Ableitung und I a A ein Intervall. Die Funktion f heißt linksgekrümmt in I, wenn f’ streng monoton steigend in I ist. rechtsgekrümmt in I, wenn f’ streng monoton fallend in I ist. Ist f: A ¥ R eine Polynomfunktion und I a A ein Intervall, dann gilt: (1) f’’ (x) > 0 für alle inneren Stellen x * I w f linksgekrümmt in I (2) f’’ (x) < 0 für alle inneren Stellen von I w f rechtsgekrümmt in I Wendestellen Eine Stelle p * A heißt Wendestelle von f, wenn sich an der Stelle p das Krümmungsverhalten von f ändert. Der Punkt (p 1 f (p)) heißt Wendepunkt des Graphen von f. Die Tangente an den Graphen von f im Wendepunkt heißt Wendetangente. Für eine Polynomfunktion f: A ¥ R gilt: Ist p eine Wendestelle von f, so ist f’’ (p) = 0. Ist f’’ (p) = 0 ? f’’’ (p) ≠ 0, so ist p eine Wendestelle von f. Ist f’ (p) = 0 ? f’’ (p) < 0, so ist p eine lokale Maximumstelle von f. Ist f’ (p) = 0 ? f’’ (p) > 0, so ist p eine lokale Minimumstelle von f. f Wendetangente Wendepunkt Wendestelle p f (p) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
14 C UNTERSUCHEN VON POLYNOMFUNKTIONEN C.1 Die Abbildungen zeigen Graphen von fünf Polynomfunktionen. Kreuze die beiden richtigen Funktionsgleichungen an! f 1 (x) = x 2 (2 – x) f 2 (x) = x 3 (x – 2) f 3 (x) = x 2 (x – 2)2 f 4 (x) = x (2 – x) 2 f 5 (x) = x (x – 2) 3 x f1(x) 1 2 3 –1 1 2 –2 –1 0 f1 x f2(x) 1 2 3 –1 1 2 –2 –1 0 f2 x f3(x) 1 2 3 –1 1 2 –2 –1 0 f3 x f4(x) 1 2 3 –1 1 2 –2 –1 0 f4 x f5(x) 1 2 3 –1 1 2 –2 –1 0 f5 C.2 Kreuze die beiden richtigen Aussagen an! Jede Polynomfunktion 3. Grades hat mindestens eine Nullstelle. Jede Polynomfunktion 4. Grades hat mindestens eine Wendestelle. Jede Polynomfunktion 5. Grades hat mindestens eine lokale Extremstelle. Jede Polynomfunktion 4. Grades hat mindestens eine Nullstelle. Jede Polynomfunktion 3. Grades hat mindestens eine Wendestelle. C.3 Sei f: R ¥ R eine Polynomfunktion dritten Grades. Kreuze die beiden richtigen Aussagen an! Die Funktion f hat mindestens so viele Nullstellen wie lokale Extremstellen. Die Funktion f hat mindestens so viele lokale Extremstellen wie Wendestellen. Die Funktion f hat mindestens so viele Nullstellen wie Wendestellen. Hat f zwei lokale Extremstellen, so hat f drei Nullstellen. Hat f zwei lokale Extremstellen, so hat f eine Wendestelle. C.4 Sei f: R ¥ R eine Polynomfunktion vierten Grades. Kreuze die beiden richtigen Aussagen an! Die Funktion f hat mindestens so viele Nullstellen wie lokale Extremstellen. Die Funktion f hat mindestens so viele lokale Extremstellen wie Wendestellen. Die Funktion f hat mindestens so viele Nullstellen wie Wendestellen. Hat die Funktion f eine globale Minimumstelle, so hat f keine globale Maximumstelle. Die Funktion f hat höchstens zwei Wendestellen. C.5 Gib ein konkretes Beispiel für die Funktionsgleichung einer Polynomfunktion vierten Grades an, für die Folgendes gilt! a) f hat keine Nullstelle und keine Wendestelle. b) f hat genau drei Nullstellen. ÜBEN FÜR DIE REIFEPRÜFUNG FA-R 4.1 FA-R 4.4 FA-R 4.4 FA-R 4.4 FA-R 4.4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
15 C UNTERSUCHEN VON POLYNOMFUNKTIONEN C.6 Kreuze jene beiden Aussagen an, die auf den Graphen der rechts abgebildeten Funktion f: [0; 6] ¥ R nicht zutreffen! Die Stelle 4 ist lokale Maximumstelle von f. Jede Stelle x * [2; 5] ist lokale Minimumstelle von f. Die Stelle 5 ist lokale Maximumstelle von f. Jede Stelle x * (2; 5) ist lokale Maximumstelle von f. Die Stelle 1 ist lokale Minimumstelle von f. C.7 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f: [– 2; 6] ¥ R. Ergänze jeweils durch Ankreuzen die folgenden Texte so, dass eine korrekte Aussage entsteht! a) Die Funktion f hat genau lokale Minimumstelle(n) und genau globale Minimumstelle(n). eine eine zwei zwei drei drei b) D ie Funktion f hat genau globale Maximumstelle(n) und genau Wendestelle(n). eine eine zwei zwei drei drei C.8 Bestimme die Monotonieintervalle der gegebenen Polynomfunktion f! a) f(x) = 2 _ 3 x 3 – x2 – 12 x f ist streng monoton steigend in: f ist streng monoton fallend in: b) f(x) = 1 _ 4 x 4 + 2 x3 + 4 x2 f ist streng monoton steigend in: f ist streng monoton fallend in: c) f(x) = 2 _ 5 x 5 – x 4 – 2 x3 f ist streng monoton steigend in: f ist streng monoton fallend in: C.9 Bestimme die Krümmungsintervalle der gegebenen Polynomfunktion f! a) f(x) = 1 _ 9 (x 4 + 4 x3) f ist linksgekrümmt in: f ist rechtsgekrümmt in: b) f(x) = 3x5 – 10 x3 f ist linksgekrümmt in: f ist rechtsgekrümmt in: x y 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 0 FA-R 1.5 FA-R 1.5 x f(x) 1 2 3 4 5 6 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 –1 0 f AN-R 3.3 AN-R 3.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
16 C UNTERSUCHEN VON POLYNOMFUNKTIONEN C.10 Die Abbildung rechts zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f: [– 3; 3] ¥ R. Kreuze die beiden richtigen Aussagen an! Die Funktion f ist in [– 2; 2] streng monoton steigend. Die Funktion f hat 3 Nullstellen und 3 lokale Extremstellen. Die Funktion f hat 2 Wendestellen. An den Stellen x = –2,x = 0 und x = 2 ist f’(x) = 0. Für –3 < x ª –2 ist f’(x) < 0. x f(x) 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 0 f C.11 Kreuze jene beiden Funktionen an, für die –1 eine lokale Maximumstelle von f ist! f(x) = 3x4 + 4 x3 f (x) = x4 – 2 x2 f(x) = 3x4 + 8 x3 + 6 x2 f (x) = x3 – 3 x f(x) = 4x5 + 5 x4 C.12 a) Kreuze jene beiden Funktionen an, b) Kreuze jene beiden Funktionen an, für die 0 eine lokale Minimumstelle von f ist! für die 0 eine Wendestelle von f ist! f(x) = –2x5 + 5 x4 f (x) = x4 + 6 x2 f (x) = 3 x4 + 8 x3 f (x) = x3 – 6 x f(x) = 9x2 – 2 x3 f (x) = x6 + 5 x3 f (x) = x4 – 6 x2 f (x) = 3 x5 – 5 x4 f (x) = – x3 – 3 x2 f (x) = x4 + 6 x C.13 a) Sei f(x) = x3 – 9 x2 + 24x –18. b) Sei f(x) = –x3 + 6 x2 –9x+3 Kreuze jene beiden Zeilen an, in denen die Kreuze jene beiden Zeilen an, in denen die angegebene Stelle p eine Maximumstelle angegebene Stelle p eine Minimumstelle von f in der angegebenen Menge M ist! von f in der angegebenen Menge M ist! p = 2; M = [0; 6] p = 1; M = [1; 6] p = 3; M = [3; 6] p = 1; M = [0; 4] p = 5; M = [1; 5] p=1;M=[–1;5] p = 2; M = [0; •) p = 1; M = (– •; 2] p = 0; M = (– •; 0] p = 1; M = (0; •) C.14 Die Abbildung rechts zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f dritten Grades. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! f’ besitzt in (– 4; 4) eine lokale Minimumstelle. f’ ist in (– 4; – 2) streng monoton steigend. f’ ist in (2; 4) streng monoton steigend. f’ ist in (– 2; 2) streng monoton steigend. f’ besitzt in (– 4 ; 4) mindestens zwei Nullstellen. AN-R 3.2 AN-R 3.3 AN-R 3.3 AN-R 3.3 x f(x) 1 2 3 4 5 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 –4 –3 –2 –1 0 f AN-R 3.2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
17 C UNTERSUCHEN VON POLYNOMFUNKTIONEN C.15 Die Abbildung zeigt die Graphen zweier Polynomfunktionen vierten Grades. Kreuze die beiden richtigen Aussagen an! Für alle x * [– 1; 4] ist g’ (x) < 0. f’ (– 2) < g’ (– 2) f’ hat in [– 5; 9] zwei lokale Extremstellen. f’ (0) < g’ (0) g’ hat an der Stelle 2 eine lokale Maximumstelle. x f(x), g(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 –4 –2 1 2 3 4 5 6 7 8 –2 0 f g C.16 Ermittle alle Hochpunkte und Tiefpunkte des Graphen der gegebenen Polynomfunktion f! a) f(x) = 1 _ 18 (15 x 3 – x5 + 18) b) f(x) = 1 _ 4 (x 4 + 8 x3 + 18 x2 – 8) C.17 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f. Kreuze die beiden richtigen Aussagen an! Für P 1 = (p 1 1 f (p 1)) gilt: f’ (p1) = 0 ? f’’ (p 1) > 0 Für P 2 = (p 2 1 f (p 2)) gilt: f’ (p2) < 0 ? f’’ (p 2) > 0 Für P 3 = (p 3 1 f (p 3)) gilt: f’ (p3) = 0 ? f’’ (p 3) = 0 Für P 4 = (p 4 1 f (p 4)) gilt: f’ (p4) = 0 ? f’’ (p 4) < 0 Für P 5 = (p 5 1 f (p 5)) gilt: f’ (p5) > 0 ? f’’ (p 5) > 0 C.18 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f. Skizziere im selben Koordinatensystem den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion f’! a) x f(x) 1 2 3 –8 –6 –4 –2 1 2 3 4 5 6 –6 –4 –2 0 f b) x f(x) 1 2 3 4 5 6 –4 –2 1 2 3 4 5 6 –6 –4 –2 0 f c) x f(x) 1 2 3 4 5 6 –4 –2 1 2 3 4 5 6 –6 –4 –2 0 f d) x f(x) 1 2 3 4 5 6 –4 –2 1 2 3 4 5 6 –6 –4 –2 0 f e) x f(x) 1 2 3 4 5 6 –4 –2 1 2 3 4 5 6 –6 –4 –2 0 f f) x f(x) 1 2 3 4 –6 –4 –2 1 2 3 4 5 6 –6 –4 –2 0 f AN-R 3.2 AN-R 3.3 AN-R 3.2 x f(x) P1 P2 P3 P4 P5 1 2 3 4 5 6 –6 –4 –2 1 2 3 4 5 –4 –2 0 f AN-R 3.2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
18 C UNTERSUCHEN VON POLYNOMFUNKTIONEN C.19 Die Abbildung rechts zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f’ einer Polynomfunktion f. Kreuze die beiden richtigen Aussagen an! Die Funktion f ist in [– 2; 0] streng monoton steigend. Die Funktion f ist in [– 4; 0] streng monoton fallend. Die Funktion f hat mindestens zwei Nullstellen. Die Funktion f hat mindestens zwei lokale Extremstellen. Die Funktion f hat mindestens zwei Wendestellen. x f’(x) 1 2 3 4 –6 –4 –2 1 2 3 4 5 6 –4 –2 0 f’ C.20 Die Abbildung rechts zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f’ einer Polynomfunktion f. Kreuze die beiden richtigen Aussagen an! Die Funktion f ist in [2; 4] streng monoton steigend. Die Funktion f hat mindestens vier lokale Extremstellen. Die Funktion f ist in [0; 2] streng monoton steigend. Die Funktion f ist in [2; 4] rechtsgekrümmt. Die Funktion f ist in [– 2; 2] linksgekrümmt. C.21 Gib eine Funktionsgleichung jener Polynomfunktion f dritten Grades an, deren Graph im Punkt T = (0 1 0) einen Tiefpunkt und im Punkt H = (3 1 9) einen Hochpunkt besitzt! f (x) = C.22 Skizziere den ungefähren Verlauf des Graphen der Polynomfunktion f, deren Ableitungsfunktion f’ durch nachstehenden Graphen gegeben ist! Nimm dabei an, dass f (0) = 2 ist! a) x f’(x) 1 2 3 4 5 –4 –2 1 2 3 4 5 6 –4 –2 0 f’ b) x 1 2 3 4 5 –4 –2 1 2 3 4 5 6 –4 –2 0 f’(x) f’ c) x 1 2 3 4 5 –4 –2 1 2 3 4 5 6 –4 –2 0 f’(x) f’ C.23 Skizziere den ungefähren Verlauf des Graphen der Polynomfunktion f, deren Ableitungsfunktion f’ durch nachstehenden Graphen gegeben ist! Nimm dabei an, dass f (0) = 3 ist! a) x 1 2 3 4 5 –4 –2 1 2 3 4 5 6 –4 –2 0 f’(x) f’ b) x 1 2 3 4 5 –4 –2 1 2 3 4 5 6 –4 –2 0 f’(x) f’ c) x 1 2 3 4 5 –4 –2 1 2 3 4 5 6 –4 –2 0 f’(x) f’ AN-R 3.2 x 1 2 3 4 5 –4 –2 1 2 3 4 –4 –2 0 f’(x) f’ AN-R 3.2 AN-R 3.3 AN-R 3.2 AN-R 3.2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
19 C UNTERSUCHEN VON POLYNOMFUNKTIONEN C.24 Die Abbildung rechts zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f’ einer Polynomfunktion f. Kreuze die beiden richtigen Aussagen an! Es ist f (1) > f (2). Es ist f (– 1) < f (0). Die Funktion f hat mindestens zwei lokale Maximumstellen. Die Funktion f hat mindestens zwei lokale Minimumstellen. Die Funktion f hat mindestens zwei Wendestellen. x f’(x) 1 2 3 4 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 –4 –3 –2 –1 0 f’ C.25 Sei f: R ¥ R eine Polynomfunktion. Kreuze die beiden richtigen Aussagen an! Ist f’ (p) = 0, dann ist p eine lokale Extremstelle von f. Ist f’’ (p) = 0, dann ist p eine Wendestelle von f. Ist f’ (p) = 0 ? f’’ (p) < 0, dann ist p eine lokale Maximumstelle von f. Ist p eine Wendestelle von f, dann ist f’’ (p) = 0 ? f’’’ (p) ≠ 0. Ist p eine lokale Extremstelle von f, dann ist f’ (p) = 0. C.26 Sei f: R ¥ R eine Polynomfunktion und sei a < b. Kreuze die beiden richtigen Aussagen an! Ist f’ (x) > 0 für alle x * (a; b), dann ist f streng monoton steigend in [a; b]. Ist p * (a; b) eine lokale Minimumstelle von f, dann ist f (x) º f (p) für alle x * [a; b]. Ist f’’ (x) > 0 für alle x * [a; b], dann ist f rechtsgekrümmt in [a; b]. Ist f streng monoton fallend in [a; b], dann ist f’ (x) < 0 für alle x * (a; b). Ist p eine Maximumstelle von f in [a; b], dann ist f (x) ª f (p) für alle x * [a; b]. C.27 Sei f: R ¥ R eine Polynomfunktion. Kreuze die beiden richtigen Aussagen an! Eine Wendestelle von f kann nicht gleichzeitig lokale Extremstelle von f sein. Eine lokale Maximumstelle von f kann nicht gleichzeitig Nullstelle von f sein. Eine Nullstelle von f kann nicht gleichzeitig Wendestelle von f sein. Ist x eine Wendestelle von f, so ist f’’ (x) = 0. Ist x eine lokale Extremstelle von f, so ist f’ (x) = 0 ? f’’ (x) ≠ 0. C.28 Sei f: R ¥ R eine Polynomfunktion dritten Grades mit den folgenden Eigenschaften. Kreuze jeweils die beiden Aussagen an, die sicher zutreffen! a) Der Graph von f hat an der Stelle x = – 4 b) Der Graph von f ist punktsymmetrisch eine lokale Maximumstelle und an der zum Nullpunkt. Stelle x = 2 eine lokale Minimumstelle. f (2) < 0 f (0) = 0 f’’ (4) < 0 f’ (1) = f’ (– 1) f’(–2) < 0 f’(0) = 0 f’’ (2) > 0 f’’ (1) = f’’ (– 1) f’’(–2) > 0 f’’’ (0) = 0 AN-R 3.2 AN-R 3.3 AN-R 3.3 AN-R 3.3 AN-R 3.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
20 C UNTERSUCHEN VON POLYNOMFUNKTIONEN C.29 Sei f: R ¥ R eine Polynomfunktion vierten Grades mit den folgenden Eigenschaften. Kreuze jeweils die beiden Aussagen an, die sicher zutreffen! a) Der Graph von f hat in S = (– 2 1 1) einen b) Der Graph von f ist symmetrisch zur y-Achse Sattelpunkt und an der Stelle x = 2 und hat an der Stelle x = – 3 eine lokale eine lokale Maximumstelle. Minimumstelle. f’ (2) = 0 f (1) > 0 f’’ (2) > 0 f’ (4) = f’ (– 4) f’(–2) < 0 f’ (3) = f’ (– 3) f’’(–2) = 0 f’’ (2) = f’’ (– 2) f’’ (2) = 0 f’’ (0) = 0 C.30 Gib ein konkretes Beispiel für eine Funktionsgleichung einer Polynomfunktion f an, für die Folgendes gilt! a) Die Stelle 0 ist keine lokale Extremstelle von f, b) Die Stelle 0 ist keine Wendestelle von f, aber f’ (0) = 0. aber f’’ (0) = 0. C.31 Sei f: R ¥ R eine Polynomfunktion vierten Grades, deren Graph im Punkt T = (2 1 4) einen Tiefpunkt hat. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! f besitzt mindestens eine Nullstelle. f besitzt höchstens zwei Nullstellen. f besitzt mindestens eine lokale Maximumstelle. f besitzt höchstens zwei lokale Maximumstellen. f besitzt mindestens eine Wendestelle. C.32 Sei f: R ¥ R eine Polynomfunktion fünften Grades, deren Graph im Punkt S = (0 1 0) einen Sattelpunkt hat. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! f besitzt höchstens zwei lokale Extremstellen. f besitzt mindestens eine lokale Extremstelle. f besitzt mindestens zwei Nullstellen. f besitzt höchstens drei Nullstellen. f besitzt keine weitere Wendestelle. C.33 Sei f: R ¥ R eine Polynomfunktion sechsten Grades. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! f besitzt mindestens eine lokale Extremstelle. f besitzt höchstens zwei lokale Minimumstellen. f besitzt mindestens eine Nullstelle. f besitzt mindestens eine Wendestelle. f besitzt höchstens vier Wendestellen. C.34 Gib ein konkretes Beispiel für eine Funktionsgleichung einer Polynomfunktion f mit den folgenden Eigenschaften an! Der Graph von f hat im Punkt T = (1 1 0) einen Tiefpunkt und f’’ (1) = 0. f (x) = C.35 Gib eine Funktionsgleichung jener Polynomfunktion f vierten Grades an, deren Graph im Punkt W = (0 1 0) einen Sattelpunkt und im Punkt H = (2 1 4) einen Hochpunkt besitzt! f (x) = AN-R 3.3 AN-R 3.3 AN-R 3.3 AN-R 3.3 AN-R 3.3 AN-R 3.3 AN-R 3.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
21 C UNTERSUCHEN VON POLYNOMFUNKTIONEN C.36 Die Abbildungen zeigen fünf Graphen von Polynomfunktionen dritten Grades. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! f1 ist vom Typ x ¦ a x 3 + b mit a > 0 und b > 0 f2 ist vom Typ x ¦ a x 3 + b mit a < 0 und b > 0 f3 ist vom Typ x ¦ a x 3 + b x2 mit a > 0 und b > 0 f4 ist vom Typ x ¦ a x 3 +bxmita<0undb>0 f5 ist vom Typ x ¦ a x 3 + b x2 mit a > 0 und b < 0 x f1(x) f1 x f2(x) f 2 x f3(x) f 3 x f4(x) f 4 x f5(x) f5 C.37 Die Abbildungen zeigen fünf Graphen von Polynomfunktionen vierten Grades. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! f 1 ist vom Typ x ¦ a x 4 +bxmita>0undb<0 f 2 ist vom Typ x ¦ a x 4 + b x3 mit a < 0 und b < 0 f 3 ist vom Typ x ¦ a x 4 + b x2 mit a > 0 und b > 0 f 4 ist vom Typ x ¦ a x 4 + b x2 mit a < 0 und b < 0 f 5 ist vom Typ x ¦ a x 4 + b x3 mit a < 0 und b > 0 x f1(x) f1 x f2(x) f2 x f3(x) f3 x f4(x) f4 x f5(x) f5 C.38 Ordne jeder Zuordnungsvorschrift in der linken Tabelle einen passenden Graphen aus der rechten Tabelle zu! x ¦ a x5 + b x mit a < 0 und b > 0 x ¦ a x5 + b x3 mit a < 0 und b > 0 A f1 B f2 C f3 D f4 x f1(x) f1 x f2(x) f2 x f3(x) f3 x f4(x) f4 FA-R 4.1 FA-R 4.1 FA-R 4.1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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• Grundkompetenzen im Mittelpunkt • T yp 1- und Typ 2- Aufgaben • Übersichtliche Zusammenfassung der Theorie • Alle Lösungen inkludiert Mathematik verstehen OS GK-Training AH 7 Schulbuchnummer 195130 ISBN 978-3-209-12371-8 zu dem Schulbuch Mathematik verstehen OS SB 7 Schulbuchnummer 190239 ISBN 978-3-209-12363-3 www.oebv.at ISBN 978-3-209-12371-8
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