12 C REELLE FUNKTIONEN GRUNDKOMPETENZEN FÜR DIE REIFEPRÜFUNG Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen können: Monotonie, Achsensymmetrie, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen. Verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge der Form f (x) = a · x z + b mit z * Z bzw. z = 1 _ 2 als entsprechende Potenzfunktion erkennen bzw. betrachten können, zwischen diesen Darstellungen wechseln können. Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen der Form f (x) = a · x z + b (mit z * Z bzw. z = 1 _ 2 ) Wertepaare sowie die Parameter a und b ermitteln und im Kontext deuten können. Die Wirkung der Parameter a und b bei Funktionen der Form f (x) = a · x z + b (mit z * Z bzw. z = 1 _ 2 ) kennen und die Parameter im Kontext deuten können. Typische Verläufe von Graphen von Polynomfunktionen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion erkennen. Absolute und relative Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können. FA-R 1.5 FA-R 3.1 FA-R 3.2 FA-R 3.3 FA-R 4.1 AN-R 1.1 Reelle Funktionen C Grundwissen in Kurzform Monotonie und Extremstellen von Funktionen Es sei f: A ¥ R eine reelle Funktion und M eine Teilmenge von A. Die Funktion f heißt monoton steigend in M, wenn für alle x1, x2 * M gilt: x1 < x2 w f (x1) ª f (x2) monoton fallend in M, wenn für alle x1, x2 * M gilt: x1 < x2 w f (x1) º f (x2) streng monoton steigend in M, wenn für alle x1, x2 * M gilt: x1 < x2 w f (x1) < f (x2) streng monoton fallend in M, wenn für alle x1, x2 * M gilt: x1 < x2 w f (x1) > f (x2) Es sei f: A ¥ R eine reelle Funktion und M a A. Eine Stelle p * M heißt Maximumstelle von f in M, wenn f (x) ª f (p) für alle x * M, Minimumstelle von f in M, wenn f (x) º f (p) für alle x * M. Eine Stelle p * M heißt Extremstelle von f in M, wenn sie eine Maximumstelle oder Minimumstelle von f in M ist. Extremstellen einer Funktion f in einer Menge M bezeichnet man kurz als globale Extremstellen von f in M, weil sie sich auf die ganze Menge M beziehen und nicht nur auf eine Teilmenge von M. Es sei f: A ¥ B mit A, B a R eine reelle Funktion. Eine Stelle p * A heißt lokale Maximumstelle von f, wenn es eine Umgebung U(p) a A gibt, sodass p Maximumstelle von f in U(p) ist, lokale Minimumstelle von f, wenn es eine Umgebung U(p) a A gibt, sodass p Minimumstelle von f in U(p) ist. Unter einer Umgebung U(p) der Stelle p verstehen wir dabei ein beliebiges Intervall, das ganz in A liegt und p als innere Stelle enthält (dh. p ist nicht Randstelle dieses Intervalls). Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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