9 1.1 AlgebraIsChe GleIChungen 1.13 Ermittle alle reellen Lösungen der Gleichung durch Substitution ohne Technologieeinsatz! a) x 4 – 20 x 2 + 64 = 0 e) x 4 + 8 x2 + 12 = 0 i) x 6 – 10 x3 + 16 = 0 b) x 4 – 5 x2 + 6 = 0 f) x 4 – 6 x2 + 9 = 0 j) x 6 + x 3 – 12 = 0 c) x 4 + 8 x2 – 9 = 0 g) 5 x 4 – 4 x2 + 1 = 0 k) 8 x 6 + 9 x3 + 1 = 0 d) 2 x 4 – 3 x2 – 2 = 0 h) 4 x 4 – 5 x2 + 1 = 0 l) 4 x 6 – 3 x3 – 1 = 0 1.14 Ermittle alle reellen Lösungen der Gleichung durch Substitution ohne Technologieeinsatz! a) (x + 1)4 + (x + 1)2 – 20 = 0 c) (x + 2)4 – 5 (x + 2)2 + 4 = 0 b) (x – 1)4 – 10 (x – 1)2 + 9 = 0 d) (x – 2)4 – 2(x – 2)2 – 8 = 0 1.15 Gegeben sind fünf Gleichungen. Kreuze jene beiden Gleichungen an, die a) keine reellen Lösungen haben, x 4 – 6 x2 + 5 = 0 x 4 + 8 x2 + 12 = 0 x 4 – 3 x2 + 4 = 0 x 4 + 4 x2 – 5 = 0 x 4 + x 2 – 6 = 0 b) genau zwei verschiedene reelle Lösungen haben! 8 x 4 – 6 x2 + 1 = 0 x 4 – 4 x2 + 12 = 0 8 x 4 + 2 x2 – 1 = 0 x 4 – 6 x2 + 8 = 0 6 x 4 – 5 x2 – 1 = 0 1.16 Gegeben ist die Gleichung 2 x4 + a x 2 + b = 0mit a, b * R. Gib konkrete Werte für a, b an, so dass die Gleichung vier verschiedenen reelle Lösungen hat! Lösen von Gleichungen durch Abspalten von Linearfaktoren R Die binomische Formel a2 – b 2 = (a – b) (a + b) lässt sich wie folgt zu einer Regel verallgemeinern, die auf den Mathematiker William George Horner (1786 – 1837) zurückgeht. Satz (Regel von Horner) Für alle a, b * R und alle n * N* gilt: an – bn = (a – b) · (an – 1 + an – 2 · b1 + … + a1 · bn – 2 + bn – 1) BEWEIS (a – b) · (an – 1 + an – 2 · b + … + a · bn – 2 + bn – 1) = = an + an – 1 · b + an – 2 · b2 + … + a2 · bn – 2 + a · bn – 1 – – an – 1 · b – an – 2 · b2 – … – a2 · bn – 2 – a · bn – 1 – bn = an – bn 1.17 Man sieht sofort, dass die Gleichung x 3 – 8 = 0 die Lösung x = 2 hat. Aber gibt es möglicherweise noch weitere Lösungen? Zeige mit der Regel von Horner, dass dies nicht der Fall ist! LÖSUNG Mit Hilfe der Regel von Horner lässt sich die Gleichung so schreiben: x 3 –8=x3 – 2 3 = (x – 2) (x2 +x·2+22) = (x – 2) (x2 +2x+4)=0 É x – 2 = 0 = x 2 +2x+4=0 Die erste Gleichung hat die Lösung x = 2. Die quadratische Gleichung hat keine reelle Lösung, da die Diskriminante negativ ist. Somit ist 2 die einzige Lösung der gegebenen Gleichung. AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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