8 1 GLEICHUNGEN UND POLYNOMFUNKTIONEN 1.07 (Fortsetzung von 1.06 a) Jemand löst die Gleichung x 3 – 4x2 –5x=0so: x3 – 4 x2 –5x=0 | : x x2 –4x–5=0 x = – 1 = x = 5 Die Lösung x = 0 ist verlorengegangen. Wo liegt der Fehler? LÖSUNG Durch x darf man nur dividieren, wenn x ≠ 0 ist. Es wurde also stillschweigend x ≠ 0 vorausgesetzt und dabei übersehen, dass x = 0 eine Lösung der Gleichung ist. BEACHTE Wenn man in einer Gleichung durch eine Unbekannte dividiert, können Lösungen verloren gehen. 1.08 Löse die Gleichung in R durch Herausheben ohne Technologieeinsatz! a) x 4 – 4 x3 = 0 c) x 4 + 25 x2 = 0 e) x 6 + 3 x5 = 0 g) x 6 + x 3 = 0 b) x 4 + 9 x3 = 0 d) x 4 – 9 x2 = 0 f) x 6 – 4 x4 = 0 h) x 6 – 4 x2 = 0 1.09 Löse die Gleichung in R durch Herausheben ohne Technologieeinsatz! a) x 3 – 8 x2 +12x = 0 c) x 3 + 7 x2 +12x = 0 e) x 4 – 8 x3 + 16 x2 = 0 b) 2 x 3 + 5 x2 + 2x = 0 d) 5 x 4 + 3 x3 – 2 x2 = 0 f) 4 x 5 + 5 x4 + 2 x3 = 0 1.10 Löse die Gleichung in R durch Herausheben ohne Technologieeinsatz! a) x2 (x + 3) – (x + 3) = 0 c) ( x2 – 7 x) ( x2 – 3) = – 6 x ( x2 – 3) b) x2 (x – 4) = 2x(x – 4) d) ( x2 + 1) ( x2 – 1) = 17 ( x2 – 1) 1.11 Sei a > 0. Löse die Gleichung in R durch Herausheben! a) x 5 + a x4 = 0 d) x 5 – a x3 = 0 g) x 6 + a x5 = 0 j) x 6 – a x3 = 0 b) x 5 – a x4 = 0 e) x 5 + a x2 = 0 h) x 6 + a x4 = 0 k) x 6 – a x2 = 0 c) x 5 + a x3 = 0 f) a x 5 – x 2 = 0 i) x 6 + a x3 = 0 l) x 6 –ax=0 Lösen von Gleichungen durch Substitution R 1.12 Ermittle alle reellen Lösungen der Gleichung a) x 4 – x 2 – 2 = 0, b) x 6 – 9x3 + 8 = 0! LÖSUNG a) Substitution: Wir setzen x2 = u. b) Substitution: Wir setzen x3 = u. u 2 – u – 2 = 0 u 2 –9u+8=0 u = – 1 = u = 2 (Rechne nach!) u = 1 = u = 8 (Rechne nach!) Rücksubstition: Wir setzen u = x2. Rücksubstition: Wir setzen u = x3. x 2 = – 1 = x 2 = 2 x 3 = 1 = x 3 = 8 Die Gleichung x2 = –1 hat keine Die Gleichung x 3 = 1 hat die Lösung 1, Lösung in ℝ, die Gleichung x2 = 2 die Gleichung x3 = 8 hat die Lösung 2. hat die Lösungen x = � _ 2und x = –� _ 2 . L = {1, 2} L = {– � _ 2 , � _ 2 } BEMERKUNG Eine Gleichung der Form a · x 4 +b·x2 + c = 0 mit a ≠ 0 bezeichnet man als biquadratische Gleichung. AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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