54 3 UNTERSUCHEN VON POLYNOMFUNKTIONEN Extremstellen von Polynomfunktionen in abgeschlossenen Intervallen R 3.15 Ermittle durch Rechnung die Monotonieintervalle sowie die globalen Extremstellen der Funktion f: [ 0; 5 ] ¥ ℝ mit f (x) = 1 _ 4 (x 3 – 6 x2 +9x–8) und skizziere den Graphen von f! LÖSUNG • N ullstellen der Ableitung: f (x) = 1 _ 4 (x 3 – 6 x2 +9x–8) f’ (x) = 1 _ 4 (3 x 2 –12x+9) = 3 _ 4 (x 2 –4x+3) = 0 É É x = 1 = x = 3 • Durch die Nullstellen von f’wird das Intervall [ 0; 5 ] in folgende Monotonieintervalle zerlegt: [ 0; 1 ], [ 1; 3 ], [ 3; 5 ]. Aus f (0) = – 2, f (1) = –1, f(3) = – 2und f (5) = 3 ergibt sich: f ist in [ 0; 1 ] streng monoton steigend, in [ 1; 3 ] streng monoton fallend und in [ 3; 5 ] streng monoton steigend. Als globale Extremstellen von f im Intervall [ 0; 5 ] kommen nur die Randstellen 0 und 5 des Intervalls [ 0; 5 ] und die Nullstellen 1 und 3 von f’in Frage (denn innerhalb der Monotonieintervalle ist f jeweils streng monoton). Anhand der Funktionswerte an diesen Stellen erkennt man: 5 ist globale Maximumstelle von f, 0 und 3 sind globale Minimumstellen von f. BEACHTE Als globale Extremstellen einer Polynomfunktion f in einem abgeschlossenen Intervall [ a; b ]kommen nur die Nullstellen von f’sowie die Randstellen a und b des Intervalls in Frage, wobei f’ (a) und f’ (b) nicht unbedingt null sein müssen. Werden die Hoch und Tiefpunkte mit Technologieeinsatz ermittelt und wird das Definitionsintervall nicht angegeben, kann es sein, dass auch Hoch und Tiefpunkte ausgegeben werden, die außerhalb dieses Intervalls liegen. 3.16 Ermittle die Monotonieintervalle und globalen Extremstellen der Funktion f im angegebenen Intervall! Skizziere den Graphen von f! a) f (x) = (x – 1) 2, [ – 1; 3 ] b) f (x) = x 2 + 1, [ – 2; 2 ] c) f (x) = – x (x – 2), [ – 2; 1 ] 3.17 Ermittle die Monotonieintervalle und globalen Extremstellen der Funktion f im angegebenen Intervall! Gib allenfalls Hoch und Tiefpunkte an! Skizziere den Graphen von f! a) f (x) = x 3 – 12 x 2 + 45x – 53,[ 1; 6 ] b) f (x) = x 2 (x – 3), [ – 1; 3 ] 3.18 Ermittle die Stellen im angegebenen Intervall, an denen die Funktion f den kleinsten bzw. größten Wert annimmt! Skizziere den Graphen von f! a) f (x) = 1 – 2 _ 5 x, [ – 10; 7 ] b) f (x) = – 1 _ 4 x 2 + 5 _ 2 x – 9 _ 4 , [ 2; 8 ] c) f (x) = – 1 _ 3 x 3 + x 2 – 4 _ 3 , [ – 1; 3 ] 3.19 Ein Körper bewegt sich im Zeitintervall [ 6; 16 ] gemäß der Zeit Ort Funktion s mit s (t) = – 0, 01 t3 + 0, 24 t2 + 6(t in min, s (t) in m). a) Ermittle, wie groß die Geschwindigkeit des Körpers zu Beginn und am Ende des angegebenen Zeitintervalls ist! b) Gib an, in welchen Zeitintervallen die Geschwindigkeit zu und in welchen abnimmt! 0 1 2 3 4 5 x f(x) 1 2 3 –1 –2 f AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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