53 3.3 Untersuchen von Polynomfunktionen mithilfe der ersten Ableitung 3.10 Ermittle die Monotonieintervalle und lokalen Extremstellen der Funktion f: ℝ ¥ ℝ! Gib die Hoch und Tiefpunkte des Graphen von f an (sofern vorhanden) und zeichne den Graphen! a) f (x) = x 2 + x – 6 d) f (x) = – x2 + 2 x g) f (x) = (x – 2) (x + 4) b) f (x) = x 2 – 5x + 6 e) f (x) = 4x – x2 h) f (x) = (x + 1) (x + 4) c) f (x) = – x2 – x + 6 f) f (x) = x 2 + 4x + 4 i) f (x) = (x + 7) (x + 1) 3.11 Ermittle die Monotonieintervalle und lokalen Extremstellen der Funktion f: ℝ ¥ ℝ! Gib die Hoch und Tiefpunkte des Graphen von f an (sofern vorhanden) und zeichne den Graphen! a) f (x) = 2 x3 – 3 x2 – 12 x + 1 d) f (x) = x – x 3 g) f (x) = x (x 2 – 3) + 1 b) f (x) = x 3 + 3 x2 + 3 x e) f (x) = x 3 – x 2 h) f (x) = x (x 2 + x) c) f (x) = x 3 – 3 x2 + 5 f) f (x) = – x (x 2 + x) – 1 i) f (x) = – (x 2 +2x+1) x 3.12 Ermittle das Monotonieverhalten der Funktion f: ℝ ¥ ℝ und zeichne den Graphen von f! a) f (x) = x 5 – x 4 b) f (x) = x 5 – 5 x c) f (x) = 0, 05 x5 – x 2 d) f (x) = 0, 05 x6 – 0, 3 x4 Terrassenstellen R 3.13 Ermittle die Monotonieintervalle und lokalen Extremstellen der Funktion f: ℝ ¥ ℝ mit f (x) = 1 _ 9 · (– x 4 + 8 x3 – 18 x2 + 36) und skizziere den Graphen dieser Funktion! LÖSUNG • Nullstellen der Ableitung: f ’ (x) = 1 _ 9 · (– 4 x 3 + 24 x2 – 36 x) f’ (x) = 0 É x = 0 = x = 3 • M onotonieintervalle: (– •; 0 ], [ 0; 3 ], [ 3; •) Aus f (– 1) = 1, f (0) = 4, f (3) = 1und f (4) = 4 _ 9 folgt: f ist in [ – •; 0 ] streng monoton steigend, in [ 0; 3 ] und in [ 3; •) streng monoton fallend. • Da f links von 0 streng monoton steigend und rechts von 0 streng monoton fallend ist, ist 0 lokale Maximumstelle von f. • 3 ist keine lokale Extremstelle von f, da f bei 3 das strenge Monotonieverhalten nicht ändert und es daher in jeder Umgebung von 3 Werte größer als f (3) und Werte kleiner als f (3) gibt. Es ist 3 eine Terrassenstelle von f und (31 1) ein Terrassenpunkt. Definition Sei f eine nicht konstante Polynomfunktion. Eine Stelle p heißt Terrassenstelle oder Sattelstelle von f, wenn f’ (p) = 0ist und sich das Monotonieverhalten von f bei p nicht ändert. Der zugehörige Punkt (p 1 f (p)) heißt Terrassenpunkt oder Sattelpunkt des Graphen von f. 3.14 Ermittle die Monotonieintervalle, die lokalen Extremstellen sowie die Terrassenstellen der Funktion f: ℝ ¥ ℝ und skizziere den Graphen dieser Funktion! a) f (x) = – 2 x 3 + 1 c) f (x) = 1 _ 2 · (x 3 + 3 x2 +3x+2) e) f (x) = 1 _ 4 x 4 + 4 _ 3 x 3 + 2 x2 b) f (x) = x 3 – 9 x2 + 27x + 6 d) f (x) = 3 x4 – 8 x3 + 16 f) f (x) = – x4 + 4 x3 – 4 AUFGABEN R 0 1 ‒ 1 2 3 4 x f(x) 1 2 3 4 f AUFGABEN R Ó Lernapplet 9b58bu Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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