52 3 UNTERSUCHEN VON POLYNOMFUNKTIONEN 3.3 Untersuchen von Polynomfunktionen mithilfe der ersten Ableitung Monotonieintervalle und lokale Extremstellen R 3.09 Gegeben ist die Polynomfunktion f: ℝ ¥ ℝ mit f (x) = x 3 – 6 x2 + 9 x – 2. Ermittle ohne Technologieeinsatz die Extremstellen von f sowie die Bereiche, in denen f streng monoton steigt bzw. fällt! Skizziere den Graphen von f! LÖSUNG • A bleitung von f: f (x) = x 3 – 6 x2 + 9x – 2w f’ (x) = 3 x2 –12x + 9 • Da an einer lokalen Extremstelle die Ableitung f’notwendigerweise null ist, kommen als lokale Extremstellen von f nur die Nullstellen von f’in Frage: f’ (x) = 0 É 3 x 2 –12x+9=0É x = 1 = x = 3(Rechne nach!) • Durch die Nullstellen von f’wird der Definitionsbereich von f in die Intervalle [ – •; 1 ], [ 1; 3 ] und [ 3; •) zerlegt (Abb. 3.4 a). Diese nennt man Monotonieintervalle von f, weil die Funktion f in diesen Intervallen jeweils ein einheitliches, streng monotones Monotonieverhalten aufweist. (Denn würde sich im Inneren eines dieser Intervalle die strenge Monotonie ändern, müsste im Inneren dieses Intervalls eine weitere Nullstelle von f’liegen.) • U m jeweils die Art der Monotonie in diesen Monotonieintervallen festzustellen, berechnen wir die Funktionswerte an den Stellen 1 und 3 sowie an einer Stelle links von 1 und einer rechts von 3, etwa: f (0) = – 2, f (1) = 2, f (3) = – 2, f (4) = 2 Wir tragen die zugehörigen Punkte ein und sehen, dass f in [ – •; 1 ] bzw. in [ 3; •) streng monoton steigend, in [ 1; 3 ] streng monoton fallend sein muss (Abb. 3.4 b). • A n den Stellen 1 und 3 ändert f das Monotonieverhalten. Da f links von 1 streng monoton steigend und rechts von 1 streng monoton fallend ist, ist 1 lokale Maximumstelle von f. Da f links von 3 streng monoton fallend und rechts von 3 streng monoton steigend ist, ist 3 lokale Minimumstelle von f. Wir zeichnen im Hoch und Tiefpunkt kurze Tangentenstücke parallel zur 1. Achse und skizzieren den Graphen. 0 1 2 3 4 f (x) 1 2 3 –1 –1 –2 x streng monoton streng monoton streng monoton 0 1 2 3 4 f (x) 1 2 3 –1 –1 –2 x streng monoton steigend streng monoton fallend streng monoton steigend 0 1 2 3 4 f (x) 1 2 3 –1 –1 –2 x streng monoton steigend f streng monoton fallend streng monoton steigend Abb. 3.4 a Abb. 3.4 b Abb. 3.4 c Merke Für jede nicht konstante Polynomfunktion lässt sich der Definitonsbereich in Monotonieintervalle (dh. Intervalle mit einheitlichem, strengen Monotonieverhalten) zerlegen. Ermitteln von Extremstellen und Monotoniebereichen mit Technologieeinsatz Man gibt eine Termdarstellung der Funktion ein und lässt sich die Hoch und Tiefpunkte des Graphen anzeigen. Daraus schließt man auf die Monotonieintervalle. kompakt S. 82 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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