51 3.2 Funktionsverlauf und erste Ableitung Satz (Notwendige Bedingung für eine lokale Extremstelle) Für jede Polynomfunktion f gilt: p ist lokale Extremstelle von f w f’ (p) = 0 Auch dieser Satz ist nicht umkehrbar, wie man an der Funktion f mit f (x) = x 3 sieht. Es ist f’ (0) = 0, aber 0 ist keine lokale Extremstelle von f. Satz (Hinreichende Bedingung für eine lokale Extremstelle) Für jede nicht konstante Polynomfunktion f gilt: Ändert f an der Stelle p das Monotonieverhalten, dann ist p eine lokale Extremstelle von f. 3.08 In Abb. 3.3 a, b, c, d ist jeweils eine Funktion f: [ 0; 6 ] ¥ ℝ dargestellt. Wir betrachten folgende Eigenschaften: (1) Die Funktion f hat keine lokale Extremstelle. (2) Die Funktion f hat die Nullstellen 2 und 4. (3) Es gibt genau zwei Stellen x mit f’ (x) = 0. (4) Es ist f’ (x) > 0für 1 < x < 3. (5) An keiner Stelle x ist f’ (x) < 0. (6) Es gibt eine Stelle x mit f’ (x) = 0, die keine lokale Extremstelle ist. (7) Die Funktion f ändert an zwei Stellen das Monotonieverhalten. (8) Im Intervall [ 2; 4 ] gibt es keine Stelle x mit f’ (x) = 0. Kreuze in der Tabelle an, welche Eigenschaften die dargestellten Funktionen haben! (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) Funktion in Abb. 3.3 a Funktion in Abb. 3.3 b Funktion in Abb. 3.3 c Funktion in Abb. 3.3 d 0 1 2 3 4 5 6 f(x) 1 2 3 –1 –2 x f Abb. 3.3 a 0 1 2 3 4 5 6 f(x) 1 2 3 –1 –2 x f Abb. 3.3 b 0 1 2 3 4 5 6 f(x) 1 2 3 –1 –2 x f Abb. 3.3 c 0 1 2 3 4 5 6 f(x) 1 2 3 –1 –2 x f Abb. 3.3 d AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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