50 3 UNTERSUCHEN VON POLYNOMFUNKTIONEN 3.2 Funktionsverlauf und erste Ableitung Bedingungen für Monotonie und Extremstellen R 3.07 Nebenstehend ist eine Polynomfunktion f dargestellt und es sind einige Tangenten eingezeichnet. Lässt sich 1) im Intervall [ a; b ], 2) im Intervall [ b; c ], 3) an der Stelle b, 4) an der Stelle d ein Zusammenhang zwischen der Tangentensteigung und dem Verlauf von f erkennen? LÖSUNG 1) An jeder Stelle x * (a; b) ist die Tangentensteigung positiv, also f’ (x) > 0. Obwohl dies nur für die inneren Stellen des Intervalls [ a; b ] gilt, ist die Funktion f im gesamten Intervall [ a; b ] streng monoton steigend. 2) An jeder Stelle x * (b; c) ist die Tangentensteigung negativ, also f’ (x) < 0. Obwohl dies nur für die inneren Stellen des Intervalls [ b; c ] gilt, ist die Funktion f im gesamten Intervall [ b; c ] streng monoton fallend. 3) An der Stelle b ist die Tangentensteigung gleich 0 (weil die Tangente parallel zur x Achse ist), also f’ (b) = 0. Da f links von b streng monoton steigend und rechts von b streng monoton fallend ist, ist b eine lokale Maximumstelle von f. 4) An der Stelle d ist die Tangentensteigung gleich 0, also f’ (d) = 0. Da aber f links und rechts von d streng monoton steigend ist, ist d keine lokale Maximumstelle von f. Aufgrund dieser Aufgabe lassen sich einige Sätze vermuten. Zur Formulierung dieser Sätze verwenden wir folgende Definition: Definition Bei einer Aussage der Form A w Bsagt man: A ist eine hinreichende Bedingung für B und B ist eine notwendige Bedingung für A. Man sagt auch: „A ist hinreichend für B“ bzw. „B folgt notwendigerweise aus A“. Monotoniesatz (Hinreichende Bedingung für strenge Monotonie in einem Intervall) Ist f: A ¥ ℝ eine Polynomfunktion und I a Aein Intervall, dann gilt: (1) f’ (x) > 0 für alle inneren Stellen x * I w f streng monoton steigend in I (2) f’ (x) < 0 für alle inneren Stellen x * I w f streng monoton fallend in I Der Monotoniesatz ist nicht umkehrbar. Es gilt zum Beispiel nicht: f ist streng monoton steigend in I w f’ (x) > 0für alle inneren Stellen x * I Ein Gegenbeispiel stellt die Funktion f mit f (x) = x 3 dar (siehe die nebenstehende Abbildung). Die Funktion f ist streng monoton steigend in ganz ℝ, aber es ist f’ (0) = 0, wie man leicht nachrechnen kann. a b c d x f(x) f x f(x) 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 3 –3 –2 –1 0 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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