47 3.1 Wiederholung: Monotonie und EXtremstellen von Funktionen Globale und lokale Extremstellen R Definition Sei f: A ¥ ℝ eine reelle Funktion und M a A. Eine Stelle p * M heißt • Maximumstelle von f in M, wenn f (x) ª f (p) für alle x * M. • Minimumstelle von f in M, wenn f (x) º f (p) für alle x * M. • Extremstelle von f in M, wenn p eine Maximumstelle oder Minimumstelle von f in M ist. Man unterscheidet globale und lokale Extremstellen einer Funktion. Definition Sei f: A ¥ ℝ eine reelle Funktion. Eine Stelle p * A heißt • globale Maximumstelle von f, wenn p Maximumstelle von f im gesamten Definitionsbereich A ist, • globale Minimumstelle von f, wenn p Minimumstelle von f im gesamten Definitionsbereich A ist, • globale Extremstelle von f, wenn p globale Maximumstelle oder globale Minimumstelle von f ist. Definition Sei f: A ¥ ℝ eine reelle Funktion. Eine Stelle p * A heißt • lokale Maximumstelle von f, wenn es eine Umgebung U (p) a Agibt, sodass p Maximumstelle von f in U (p) ist, • lokale Minimumstelle von f, wenn es eine Umgebung U (p) a Agibt, sodass p Minimumstelle von f in U (p) ist, • lokale Extremstelle von f, wenn sie eine lokale Maximumstelle oder lokale Minimumstelle von f ist. BEACHTE • Unter einer Umgebung U(p) einer Stelle p verstehen wir in diesem Buch ein beliebiges Intervall, welches p als innere Stelle enthält (dh. p darf keine Randstelle des Intervalls sein). Die Umgebung U (p) erstreckt sich also sowohl links als auch rechts von p, muss aber nicht symmetrisch um p liegen. • Ist p eine lokale Extremstelle einer Funktion f, dann muss nach der obigen Definition die Umgebung U (p) ganz im Definitionsbereich A von f liegen. Somit kann in diesem Buch eine Randstelle von A keine lokale Extremstelle (wohl aber eine globale Extremstelle) sein. • Vermeide den unklaren Ausdruck Extremstelle von f! Sprich genauer von einer Extremstelle von f in M (zB in [a; b]) oder von einer lokalen bzw. globalen Extremstelle von f! Definition • Ist p eine lokale Maximumstelle von f, so nennt man den Punkt H = (p 1 f (p)) einen Hochpunkt des Graphen von f. • Ist p eine lokale Minimumstelle von f, so nennt man den Punkt T = (p 1 f (p)) einen Tiefpunkt des Graphen von f. • Die Hoch und Tiefpunkte des Graphen von f nennt man Extrempunkte des Graphen von f. U (p) p Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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