40 2 GRUNDBEGRIFFE DER DIFFERENTIALRECHNUNG 2.7 Höhere Ableitungen Fortlaufendes Differenzieren R Wir betrachten eine Polynomfunktion f, zum Beispiel: f (x) = x 5 + 2 x3 –5x+7 Wir bilden die Ableitung: f’ (x) = 5 x4 + 6 x2 – 5 Die Funktion f’können wir abermals differenzieren: (f’)’ (x) = 20 x 3 + 12 x Statt (f’)’‚schreibt man kürzer f’’[lies: f zwei Strich]: f’’(x) = 20 x 3 + 12 x Die Funktion f’’können wir wiederum differenzieren: (f’’)’ (x) = 60 x 2 + 12 Statt (f’’)’‚schreibt man kürzer f’’’[lies: f drei Strich]: f’’’ (x) = 60 x 2 + 12 Auf diese Weise könnte man beliebig weit fortfahren. Definition Es sei f eine reelle Funktion. Man bezeichnet • die Funktion f’ als erste Ableitung von f, • die Funktion f’’ = (f’)’ als zweite Ableitung von f, • die Funktion f’’’ = (f’’)’ als dritte Ableitung von f. BEISPIEL Es sei s: t ¦ s (t) eine Zeit Ort Funktion. Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t: v (t) = s’ (t) Die Geschwindigkeit ist die Änderungsrate des Ortes zum Zeitpunkt t. Sie gibt an, wie schnell sich der Ort zum Zeitpunkt t ändert. Beschleunigung zum Zeitpunkt t: a (t) = v’ (t) = s’’ (t) Die Beschleunigung ist die Änderungsrate der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t bzw. die Änderungsrate des Ortes zum Zeitpunkt t. Sie gibt an, wie schnell sich die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t ändert. 2.75 Berechne f’ (x) und f’’ (x)! a) f (x) = x + 3 c) f (x) = x 5 – x 4 + 3 x3 + 2 e) f (x) = x (x – 1) (x + 1) b) f (x) = 1 _ 2 x 2 + x 3 d) f (x) = x 7 – x 2 + 3 x f) f (x) = (x – 1) (x 2 + 2) 2.76 Berechne f’ (x)und f’’ (x)! a) f (x) = ax + b b) f (x) = a x3 + b x2 + cx + d c) f (x) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 2 x 2 + a 1 x + a0 2.77 Berechne f’ (x), f’’ (x) und f’’’ (x)! a) f (x) = 5 x3– 7 x2 + x – 8 b) f (x) = a x5 – b x3 + c c) f (x) = a x6 – b x5 + c x2 2.78 Berechne f’ (0), f’’ (2) und f’’’ ( – 6) für f (x)! a) f (x) = x 4 – x 3 + 5 b) f (x) = x 2 (x 3 + 2) c) f (x) = x (x – 1) 2.79 Berechne die Geschwindigkeit v (10) und die Beschleunigung a (10) für die Zeit Ort Funktion s! a) s (t) = 2 · t 2 b) s (t) = 3 · t 3 – 1 c) s (t) = 4 t3 + t – 1 d) s (t) = 2 t4 – t 2 + 5 2.80 Für den zurückgelegten Weg beim freien Fall gilt (ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands): s (t) = g _ 2 · t 2 (t in Sekunden, s (t) in Meter) Stelle eine Formel für die Geschwindigkeit v (t) zum Zeitpunkt t sowie eine Formel für die Beschleunigung a (t) zum Zeitpunkt t auf! Erkläre, warum für die Konstante g die Bezeichnung „Erdbeschleunigung“ üblich ist! kompakt S. 41 AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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