38 2 GRUNDBEGRIFFE DER DIFFERENTIALRECHNUNG Da sich der lockere Umgang mit den Differentialen d x und d y in Anwendungen bewährt hatte, versuchte man später, diese Ausdrücke für sich allein zu definieren. Dies gelang im Prinzip auch im 20. Jahrhundert, wodurch die Leibniz’sche Schreibweise nachträglich (nach ca. 300 Jahren) gerechtfertigt wurde. 2.60 Schreibe die Aussage s ’ (t) = lim z ¥ t s(z) – s(t) __ z – t auf drei weitere Arten an! LÖSUNG d s _ d t = lim ∆ t ¥ 0 ∆ s _ ∆ t s’ (t) = lim ∆ t ¥ 0 s (t + ∆ t) – s(t) ___ ∆ t s’ (t) = lim h ¥ 0 s(t + h) – s(t) __ h 2.61 Schreibe die folgende Aussage mit Hilfe der Leibniz’schen Schreibweise an! a) V’ (t) = lim z ¥ t V (z) – V (t) __ z – t b) V’ (r) = lim z ¥ r V (z) – V (r) __ z – r c) A’ (r) = lim z ¥ r A(z) – A(r) __ z – r d) F’ (v) = lim z ¥ v F(z) – F(v) __ z – v 2.62 Schreibe die folgende Aussage auf drei weitere Schreibweisen an! a) g’ (x) = lim h ¥ 0 g(x + h) – g(x) ___ h b) f’ (u) = lim z ¥ u f(z) – f(u) __ z – u 2.63 In einer Fabrik wird eine flüssige Chemikalie erzeugt. Bei einer Tagesproduktion von x Liter entstehen die Produktionskosten K (x). Interpretiere den folgenden Ausdruck im gegebenen Kontext! a) K (x + ∆ x) – K (x) b) K (x + ∆ x) – K(x) ___ ∆ x c) d K (x) _ d x 2.64 N (t) sei die Anzahl der noch unzerfallenen Atome eines radioaktiven Stoffes zum Zeitpunkt t. Formuliere die folgende Beziehung in Worten! a) ∆ N (t) _ ∆ t ≈ – λ · N (t) (λ * ℝ +k onstant) b) d N (t) _ d t ≈ – λ · N (t) (λ * ℝ +k onstant) 2.65 Gegeben ist die Formel E = a t + b _ 2 t 2. Ermittle: a) d E _ d t (a und b konstant) b) d E _ d a (b und t konstant) c) d E _ d b (a und t konstant) 2.66 Gegeben ist die Formel M = 1 _ 4 c 2 N 4 – b 3 c 3 N 2. Ermittle: a) d M _ d c (b und N konstant) b) d M _ d b (c und N konstant) 2.67 Gegeben ist die Formel N = 3 _ 5 b k 2 L 5 – 1 _ 2 b 3 L 2. Ermittle: a) d N _ d k (b und L konstant) b) d N _ d L (b und k konstant) 2.68 Gegeben ist die Formel p · V = N · k · T. Ermittle: a) d V _ d T (p, N, k konstant) b) d T _ d p (V, N, k konstant) 2.69 Gegeben ist die Formel 2 · u = v · w2 – v 3. Ermittle: a) d u _ d v (w konstant) b) d u _ d w (v konstant) 2.70 a) y = C · x 2 Zeige: d y _ d x = 2 y _ x d) z = c _ 2 · x 2 – 1 _ 2 c Zeige: x · d z _ d x –2z= 1 _ c b) r = C · φ + φ 2 Zeige: d r _ d φ – r _ φ = φ e) u = v 3 + c · v 2 Zeige: d u _ d v =u·( 3 _ v – c · v _ u ) c) a = C · z 2 + 1 Zeige: d a _ d z =2· a – 1 _ z f) w = u 3 – 5 Zeige: 1 _ 3 · d w _ d u = w + 5 _ u AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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