37 2.6 Schreibweisen für den Differenzen- und DifferentialQuotienten 2.6 Schreibweisen für den Differenzen- und Differentialquotienten Leibniz’sche Schreibweise R In vielen Anwendungen ist für den Differenzen und Differentialquotienten eine Schreibweise gebräuchlich, die auf Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 –1716) zurückgeht. Dieser setzte: z – x = ∆ x[lies: Delta x] und f (z) – f (x) = ∆ y[lies: Delta y] Damit lässt sich der Differenzenquotient so schreiben: f (z) – f (x) __ z – x = ∆ y _ ∆ x Nähert sich z unbegrenzt der Zahl x, so wird sowohl ∆ xals auch ∆ yimmer kleiner. Schließlich erhält man „unendlich kleine Größen“, die Leibniz Differentiale nannte und mit d x bzw. d y bezeichnete. Die Zahl, der sich der Quotient ∆ y _ ∆ x dabei unbegrenzt nähert, bezeichnete Leibniz mit d y _ d x [lies: d y nach d x]. Er fasste diese Zahl als Quotienten der Differentiale d y und d x auf und nannte sie folgerichtig Differentialquotient. Unsere bisherige Schreibweise lässt sich leicht in die Leibniz’sche Schreibweise übersetzen: bisherige Schreibweise: Leibniz’sche Schreibweise: f’ (x) = lim z ¥ x f (z) – f (x) __ z – x d y _ d x = lim ∆ x ¥ 0 ∆ y _ ∆ x Diese Überlegungen sind aber nicht unproblematisch. Was sind „unendlich kleine Größen“? Wie kann man aus zwei „unendlich kleinen Größen“ deren Quotienten berechnen? Da die Differentiale d x und d y für sich allein keine Bedeutung haben, kann d y _ d x nicht als Bruch mit einem Zähler und einem Nenner aufgefasst werden. Das Symbol ergibt nur als Ganzes einen Sinn. Man liest deshalb auch nicht „d y durch d x“, sondern „d y nach d x“. Obwohl Leibniz seine Vorstellungen nicht näher erklären konnte und obwohl seine Schreibweise vielfach kritisiert wurde, wird sie noch heute häufig verwendet. (Statt d y _ d x schreibt man manchmal auch d f _ d x oder d f (x) _ d x ). Ein Vorteil des Symbols d y _ d x gegenüber dem Symbol f’ (x) besteht darin, dass es an die Definition des Differentialquotienten als Grenzwert des Differenzenquotienten erinnert. Die Vorstellung eines Bruchs kann dabei für manche intuitive Überlegungen von Vorteil sein, auch wenn sie streng genommen nicht gerechtfertigt ist. Insbesondere sind die Symbole ∆ y _ ∆ x und d y _ d x dann nützlich, wenn es auf die genaue Angabe der Intervallgrenzen bzw. der betrachteten Stelle nicht ankommt. Zwei Beispiele sollen die Verwendung der Leibniz’schen Schreibweise illustrieren: BEISPIEL 1 In nebenstehender Abbildung ist die Steigung der Sekante gleich ∆ y _ ∆ x . Strebt ∆ xgegen 0, so strebt die Sekantensteigung ∆ y _ ∆ x gegen die Tangentensteigung d y _ d x . BEISPIEL 2 Wenn sich in einem Zeitintervall der Länge ∆ tder Ort um ∆ sändert, so beträgt die mittlere Geschwindigkeit in diesem Wegintervall ∆ s _ ∆ t . Strebt ∆ tgegen 0, so strebt die mittlere Geschwindigkeit ∆ s _ ∆ t gegen die Geschwindigkeit d s _ d t zum Zeitpunkt t. f x x + ∆x s t ∆x ∆y Ó Applet 9a7rf6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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