34 2 GRUNDBEGRIFFE DER DIFFERENTIALRECHNUNG 2.38 Kreuze jeweils die beiden richtigen Aussagen an! a) f (x) = 3 x2 – 6 w f’ (1) = 0 f (x) = 2 x3 – 5 x2 w f’ (2) = 4 f (x) = 2 x4 – x 5 w f’ (0) = 3 f (x) = 3 x2 + 6 x w f’(–2) = 0 f (x) = x4 + 2 x3 w f’(–1) = 2 b) f(x)=4x–4 w f’(–1) = – 4 f(x) = 6x – 3x2 w f’(–2) = – 6 f (x) = x2 + 3 x w f’ (0) = 3 f (x) = x4 – 3 x2 w f’(1) = – 2 f(x) = 5x3 – 2 x4 w f’(2) = 4 2.39 Ermittle die Steigung der Funktion f an der Stelle p! a) f (x) = 2 x2 – 5x + 3,p = 4 d) f (x) = x 3 – 6 x2 + x, p = 3 b) f (x) = x 4 + 4 x3 + 8, p = – 2 e) f (x) = 1 – 2 x 8 – x 2, p = 0 c) f (x) = – x 3 + 2 x2 – x + 1, p = 2 f) f (x) = x 6 – x 3 – 1, p = – 1 2.40 Ermittle eine Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P = (p 1 f (p)) und das Maß des Neigungswinkels dieser Tangente! a) f (x) = 2 x2 + 3x, p = – 2 d) f (x) = x 6 – x 5 – x, p = 0 b) f (x) = 1 _ 3 x 3 – x, p = 3 e) f (x) = 1 – x 7, p = – 1 c) f (x) = 5 – 1 _ 2 x 2, p = 4 f) f (x) = x 2(x – 1), p = 2 2.41 Bestimme jene Punkte auf dem Graphen von f, in denen die Tangente an den Graphen parallel zur Geraden g ist! a) f (x) = x 2 –4x–5,g:y=2x–1 c) f (x) = x 3 + 3 x2 +2,g:y=9x–2 b) f (x) = – x 2 +5x+3,g:y=x+3 d) f (x) = x 4 – 8 x2 + 6, g: y = 8 2.42 Ermittle alle Stellen x * ℝ, an denen die Funktion f die Steigung k besitzt! a) f (x) = x 3 – 3 x2 –20x+6,k=4 c) f (x) = 1 _ 6 (2 x 3 + 3 x2 +18x–4), k = 5 b) f (x) = x 3 – 10,5 x 2 +24x,k=– 6 d) f (x) = 1 _ 5 (x 4 – 2 x3 + x 2 + 15 x), k = 3 2.43 a) Die Tangente an den Graphen der Funktion f mit f (x) = a x2 + b x + 5im Punkt P = (– 2 1 – 4) hat die Steigung k = 3. Bestimme a und b! b) Die Tangente an den Graphen der Funktion f mit f (x) = – x 3 + a x2 + bim Punkt P = (– 2 1 – 2) hat die Steigung k = 8. Bestimme a und b! 2.44 Die Tangente an den Graphen der Funktion f mit f (x) = x3 + a x 2 + b xim Punkt P = (–1 1 5) ist parallel zur Geraden g : 5 x + y = 3. Bestimme a und b! 2.45 Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = x 2 + 4x + 3. 1) Berechne die Schnittpunkte mit den Achsen und die Steigungen der Tangenten in diesen Punkten! 2) In welchen Punkten des Graphen ist die Tangente zur ersten Achse (x Achse) parallel, in welchen Punkten parallel zur Geraden 2 x – y + 3 = 0? 3) In welchem Punkt des Graphen bildet die Tangente mit der positiven ersten Achse einen Winkel von 45°? Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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