33 2.5 Ableitungen – Differentiation von PolYnomfunktionen Satz (Regel vom konstanten Faktor) f (x) = c · g (x) w f’ (x) = c · g’ (x) (c * ℝ) BEWEIS Sei f (x) = c · g (x). Dann gilt: f’ (x) = lim z ¥ x f (z) – f (x) __ z – x = lim z ¥ x c · g (z) – c · g (x) ___ z – x = lim z ¥ x c · g (z) – g (x) __ z – x = c · g’ (x) Man sagt auch: Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren erhalten. Satz (Summenregel) f (x) = g (x) + h (x) w f’ (x) = g’ (x) + h’ (x) BEWEIS S ei f (x) = g (x) + h (x). Dann gilt: f’ (x) = lim z ¥ x f (z) – f (x) __ z – x = lim z ¥ x g (z) + h (z) – [ g (x) + h (x) ] ____ z – x = lim z ¥ x ( g (z) – g (x) __ z – x + h (z) – h (x) __ z – x ) = g’ (x) + h’ (x) Man sagt auch: Eine Summe darf gliedweise differenziert werden. Die Summenregel gilt auch für mehr als zwei Summanden: Satz (Allgemeine Summenregel) f (x) = f 1 (x) + f 2 (x) + … + f n (x) w f’ (x) = f 1’ (x) + f 2’ (x) +…+fn’ (x) BEWEIS W ir überlegen uns den Beweis zunächst für eine Funktion der Form: f (x) = f 1 (x) + f 2 (x) + f 3 (x) Setzen wir zur Abkürzung g (x) = f 2 (x) + f 3 (x), dann gilt f (x) = f 1 (x) + g (x). Daraus folgt: f’ (x) = f 1’ (x) + g’ (x) = f 1’ (x) + f 2’ (x) + f 3’ (x) Auf analoge Weise kann man die Regel für vier, fünf, sechs, … Summanden beweisen. Mit Hilfe der bisher bewiesenen Regeln können wir jede Polynomfunktion differenzieren: Satz (Ableitung einer Polynomfunktion) f (x) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a0 w f’ (x) = a n · n · x n – 1 + a n – 1 · (n – 1) · x n – 2 + … + a 1 2.34 Ermittle f’ (x)! a) f (x) = 3 c) f (x) = x 5 e) f (x) = 4 x8 g) f (x) = 4 x3 b) f (x) = x 6 d) f (x) = x 20 f) f (x) = 2 x12 h) f (x) = 5 x7 2.35 Ermittle f’ (x)! a) f (x) = x + 2 c) f (x) = x 2 + 2 x e) f (x) = – 3 x 2 + 5 g) f (x) = 4 x4 – 3 x2 b) f (x) = 2x + 1 d) f (x)= 7 x3 – 2 f) f (x) = – x 2 + 4 x h) f (x) = x 3 – x 2.36 Ermittle f’ (x)! a) f (x) = x 6 + x 3 + x + 1 c) f (x) = – x 4 + 2 x3 – x + 3 e) f (x)= 7 x7 – 5 x3 + x b) f (x) = x 5 + x 2 – 2x + 8 d) f (x) = 2 x8 – 3 x5 + 4 x3 – 2 f) f (x) = 2 x11 – 4 x10 – 1 2.37 Ermittle jeweils f’ (1), f’ (– 1) undf’ (2)! a) f (x) = x 3 – 2 x2 + 1 c) f (x) = – x 4 + 3 x2 + 2 x e) f (x) = x (x 3 – 5 x) b) f (x) = x 4 – x 3 + x d) f (x) = 2 – x 5 f) f (x) = (x 2 – 4)(x – 2) AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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