32 2 GRUNDBEGRIFFE DER DIFFERENTIALRECHNUNG 2.5 Ableitungen – Differentiation von Polynomfunktionen Ableitungsfunktion R Bisher haben wir den Differentialquotienten einer Funktion f: A ¥ ℝ lediglich an einer bestimmten Stelle x betrachtet. Kann man aber jeder Stelle x * Aden Differentialquotienten f’ (x) zuordnen, so kann man auch die Funktion f’: A ¥ ℝ 1 x ¦ f’ (x) betrachten. Definition Die Funktion f’: x ¦ f’ (x) nennt man Ableitungsfunktion von f oder kurz Ableitung von f. Das Berechnen der Ableitungsfunktion nennt man Ableiten oder Differenzieren. Ableitungsregeln für Polynomfunktionen R Eine Polynomfunktion kann als „Summe“ von Potenzfunktionen der Form p n (x) =c·x n aufgefasst werden. So kann etwa die Polynomfunktion f mit f (x) = 5 · x 3 – 3 · x 2 + x + 1 in folgender Form geschrieben werden: f (x) = p 3 (x) + p 2 (x) + p 1 (x) + p 0 (x) mit p3 (x) = 5 · x 3, p 2 (x) = – 3 · x 2, p 1 (x) = xund p0 (x) = 1 Um Polynomfunktionen auf einfache Weise differenzieren zu können, werden wir uns Regeln für die Ableitung von Funktionen der folgenden Art überlegen: • konstante Funktion: f (x) = c (c konstant) • Potenzfunktion: f (x) = x n (n * N*) • Vielfaches einer Funktion: f (x) = c · g (x) (c konstant) • Summe von Funktionen: f (x) = g (x) + h (x) Satz (Ableitung einer konstanten Funktion) f (x) = c w f’ (x) = 0 (c * ℝ) BEWEIS f (x) = c w f’ (x) = lim z ¥ x f (z) – f (x) __ z – x = lim z ¥ x c – c _ z – x = lim z ¥ x 0 = 0 Satz (Ableitung der identischen Funktion) f (x) = x w f’ (x) = 1 BEWEIS f’ (x) = lim z ¥ x f (z) – f (x) __ z – x = lim z ¥ x z – x _ z – x = lim z ¥ x 1 = 1 2.33 Es sei a) f (x) = x 2, b) f (x) = x 3. Ermittle f’ (x)! Ergibt sich eine allgemeine Vermutung? Satz (Potenzregel für natürliche Exponenten) f (x) = x n w f’ (x) = n · x n – 1 (n * N*, n > 1) BEWEIS Sei f (x) = x n (mit n * N*, n > 1). Dann gilt unter Benutzung der Regel von Horner: f’ (x) = lim z ¥ x f (z) – f (x) __ z – x = lim z ¥ x z n – xn _ z – x = lim z ¥ x (z – x) (z n – 1 + z n – 2 · x + z n – 3 · x 2 +…+z·xn – 2 + x n – 1) ________ z – x = = lim z ¥ x (zn – 1 + zn – 2 · x + … + z · xn – 2 + xn – 1) n Summanden = (xn – 1 + xn – 2 · x + … + x · xn – 2 + xn – 1) n Summanden = = (xn – 1 + xn – 1 + … + xn – 1 + xn – 1) n Summanden = n · xn – 1 kompakt S. 41 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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