28 2 GRUNDBEGRIFFE DER DIFFERENTIALRECHNUNG Ist f’ (x) > 0, so ist die Steigung der Tangente im Punkt (x 1 f (x)) positiv und die Tangente somit eine steigende Gerade. Ist f’ (x) < 0, so ist die Steigung der Tangente im Punkt (x 1 f (x)) negativ und die Tangente somit eine fallende Gerade. Ist f’ (x) = 0, so ist die Steigung der Tangente im Punkt (x 1 f (x)) gleich 0 und die Tangente somit eine Parallele zur ersten Achse. Richtungsvektor der Tangente: Der Vektor (1 1 f’ (x 0)) ist ein Richtungsvektor der Tangente an den Graphen der Funktion f im Punkt X0 (x 0 1 f ( x0)). Eine Parameterdarstellung dieser Tangente ist gegeben durch: t: X = ( x 0 f (x 0) ) + s · ( 1 f’ (x0) ) Neigungswinkel einer Tangente R Unter dem Neigungswinkel (Steigungswinkel) einer Geraden g versteht man den Winkel, den die Gerade g mit der positiven 1. Achse (x Achse) einschließt (siehe Abb. 2.4 a, b). Für das Maß α des Neigungswinkels gilt stets 0 ° ª α < 180°. 1. A. 2. A. α g b a Abb. 2.4 a In Abb. 2.4 a gilt: k = b _ a = tan α 1. A. 2. A. α g b a Abb. 2.4 b In Abb. 2.4 b gilt: k = – b _ a = – tan (180° – α) = tan α In beiden Fällen gilt also: k = tan α. Insbesondere gilt für eine Tangente: f’ (x) = k = tan α. Wir halten fest: Satz Ist k die Steigung und α das Maß des Neigungswinkels der Tangente an den Graphen einer Funktion f an der Stelle x, so gilt: f’(x) = k = tan α 2.20 Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = x 2. 1) Berechne die Steigungen von f an den Stellen – 2 und 1! 2) Gib Gleichungen der Tangenten an den Graphen von f in den Punkten P = (– 2 1 f (– 2)) und Q = (1 1 f (1)) an! 3) Berechne die Neigungswinkel der Tangenten in diesen Punkten! LÖSUNG 1) f ’ (x) = lim z ¥ x z 2 – x 2 _ z – x = lim z ¥ x (z + x) (z – x) __ z – x = lim z ¥ x (z + x) = 2 x f’ ( – 2) = 2 · ( – 2) = – 4 f’ (1) = 2 · 1 = 2 2) T angente in P: t: X = (– 2 1 4) + s · (1 1 – 4) bzw. 4 x + y = – 4 Tangente in Q: t: X = (1 1 1) + s · (1 1 2) bzw. 2 x – y = 1 3) N eigungswinkel α 1 der Tangente in P: tan α 1 = f’(–2) = – 4 w α 1 ≈ 104,0° Neigungswinkel α 2 der Tangente in Q: tan α 2 = f’ (1) = 2 w α 2 ≈ 63,4° α2 –3–2–10 1 2 3 4 5 x f(x) 1 2 3 α1 4 5 6 7 –1 –2 P Q f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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