26 2 GRUNDBEGRIFFE DER DIFFERENTIALRECHNUNG 2.16 Schreibe den Differentialquotienten der Funktion f an der Stelle x als Grenzwert des zugehörigen Differenzenquotienten an und vereinfache das Ergebnis! Berechne dann f’ (1)und f’ (2)! a) f (x) = 3 x2 b) f (x) = x2 – 2 x c) f (x) = x3 d) f (x) = 2 _ x e) f (x) = 3 _ x2 2.17 Wenn ein Stein ins Wasser geworfen wird, geht vom Aufprallpunkt eine kreisförmige Welle aus. Die Wellenfront ist dabei ein Kreis mit wachsendem Radius r. Es sei A (r)der Flächeninhalt eines solchen Kreises (r in Meter, A (r)in Quadratmeter). a) Gib eine Formel für die Zunahme des Flächeninhalts im Radiusintervall [ r; z ] an und berechne mit dieser Formel die Zunahme des Flächeninhalts in den Radiusintervallen [ 1; 2 ] und [ 2; 3 ]! b) Gib eine Formel für die mittlere Änderungsrate des Flächeninhalts im Radiusintervall [ r; z ] an und berechne mit dieser Formel die mittlere Änderungsrate des Flächeninhalts in den Radiusintervallen [ 1; 2 ] und [ 2; 3 ]! c) Gib eine Formel für die Änderungsrate A ’ (r) des Flächeninhalts beim Radius r an und berechne mit dieser Formel die Änderungsrate des Flächeninhalts bei den Radien 1 und 3! Bei welchem dieser beiden Radien ändert sich der Flächeninhalt stärker? 2.18 Ein kugelförmiger Ballon vom Radius r hat den Oberflächeninhalt O (r) = 4 π r 2 (r in Dezimeter, O in dm2). Der Ballon wird aufgeblasen. a) Gib eine Formel für die mittlere Änderungsrate des Oberflächeninhalts im Radiusintervall [ r; z ] an und berechne mit dieser Formel die mittlere Änderungsrate des Oberflächeninhalts in den Radiusintervallen [ 10; 20 ] und [ 20; 30 ]! In welchem dieser beiden Intervalle ist die mittlere Änderungsrate des Oberflächeninhalts größer? b) Gib eine Formel für die Änderungsrate O ’ (r) beim Radius r an und berechne O ’ (1) und O’ (3)! Bei welchem dieser beiden Radien ändert sich der Oberflächeninhalt stärker? c) Ändert sich O ’ (r) mit wachsendem Radius linear, quadratisch oder keines von beidem? 2.19 Fülle die Tabelle fertig aus! x f (x) f (z) – f (x) __ z – x lim z ¥ x f (z) – f (x) __ z – x zurückgelegter Weg (in km) verbrauchte Benzinmenge nach x km (in ø) mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [ x; z ] (in km/h) Geschwindigkeit zum Zeitpunkt x (in km/h) Zeit (in h) durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit des Flächeninhalts einer Bakterienkultur im Zeitintervall [ x; z ] (in mm2 / h) Meereshöhe (in m) Luftdruck in der Meereshöhe x (in h Pa) AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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