25 2.3 DifferentialQuotient – Änderungsrate Änderungsrate L 2.15 Ein kugelförmiger Ballon vom Radius r hat das Volumen V (r) = 4 π _ 3 r 3 (r in Dezimeter, V in Kubikdezimeter). Der Ballon wird aufgeblasen. 1) Gib die Änderung des Volumens in den Radiusintervallen [ 1; 2 ] und [ 2; 3 ] an! 2) Berechne die mittlere Änderungsrate des Volumens im Radiusintervall [ 1; 3 ]! 3) Gib eine Formel für die mittlere Änderungsrate des Volumens im Radiusintervall [ r; z ] an! 4) Gib eine Formel für die Änderungsrate V’ (r) des Volumens beim Radius r an! 5) Berechne die Änderungsrate des Volumens beim Radius 1 bzw. beim Radius 3! LÖSUNG 1) V olumsänderung in [ 1; 2 ] = V (2) – V (1) = 4 π _ 3 · 2 3 – 4 π _ 3 · 1 3 = 28 π _ 3 ≈ 29,32 (dm 3) Volumsänderung in [ 2; 3 ] = V (3) – V (2) = 4 π _ 3 · 3 3 – 4 π _ 3 · 2 3 = 76 π _ 3 ≈ 79,59 (d m 3) 2) Mittlere Änderungsrate des Volumens im Radiusintervall [ 1; 3 ] = Volumsänderung ___ Radiusänderung = = V (3) – V (1) __ 3 – 1 = 4 π _ 3 · 3 3 – 4 π _ 3 · 1 3 ___ 2 = 4 π _ 3 · 3 3 – 1 3 _ 2 = 52 π _ 3 ≈ 54,45 (d m 3/dm) Das Volumen nimmt im Radiusintervall [ 1; 3 ] im Mittel (!) für jeden zusätzlichen Dezimeter des Radius um ca. 54,45 dm3 zu (am Anfang weniger, gegen Ende mehr). 3) Mittlere Änderungsrate des Volumens im Radiusintervall [ r; z ] = V (z) – V (r) __ z – r = = 4 π _ 3 · z 3 – 4 π _ 3 · r 3 ___ z – r = 4 π _ 3 · z 3 – r 3 _ z – r = 4 π _ 3 · (z – r) · (z 2 +z·r+r2) ____ z – r = 4 π _ 3 · (z 2 +z·r+r2)für z ≠ r 4) Unter der Änderungsrate V’ (r) versteht man den Grenzwert der mittleren Änderungsrate des Volumens für immer kleiner werdende Radiusintervalle [ r; z ]: V ’ (r) = lim z ¥ r V (z) – V (r) __ z – r = lim z ¥ r 4 π _ 3 (z 2 +z·r+r2) Nähert sich z unbegrenzt der Zahl r, dann nähert sich 4 π _ 3 · (z 2 +z·r+r2) unbegrenzt der Zahl 4 π _ 3 · (r 2 +r·r+r2) = 4 π _ 3 ·3r 2 = 4 π r 2. Also gilt: V’ (r) = 4 π r 2 (dm 3 / dm) 5) Für r = 1ergibt sich: V’ (1) = 4 π ≈ 12,57 (dm 3 / dm) Für r = 3ergibt sich: V’ (3) = 36 π ≈ 113,10 (dm 3 / dm) Allgemein definiert man: Definition Es sei f : A ¥ ℝ eine reelle Funktion und [ a; b ] a A. Der Grenzwert f’ (x) = lim z ¥ x f (z) – f (x) __ z – x heißt Differentialquotient von f an der Stelle x oder Änderungsrate von f an der Stelle x. BEMERKUNG Der Begriff der Änderungsrate ist eine Verallgemeinerung des Begriffs der Änderungsgeschwindigkeit. Man kann ihn nicht nur auf zeitabhängige Größen anwenden, sondern auch auf Größen, die von einer anderen Größe abhängen (zB von einem Radius r). • E ine positive (mittlere) Änderungsrate bezeichnet man auch als (mittlere) Zunahmerate. • E ine negative (mittlere) Änderungsrate bezeichnet man auch als (mittlere) Abnahmerate. Eine wichtige Vorstellung vom Differentialquotienten: Ist z sehr nahe bei x, dann gilt: f’ (x) = lim z ¥ x f (z) – f (x) __ z – x ≈ f (z) – f (x) __ z – x r z Ó Applet 9949ep Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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