24 2 GRUNDBEGRIFFE DER DIFFERENTIALRECHNUNG 2.3 Differentialquotient – Änderungsrate Änderungsgeschwindigkeit R 2.14 Aus einem zylindrischen Behälter, in dem sich anfänglich 100 Liter Wasser befinden, fließt Wasser aus. Es sei V (t) das Volumen des im Behälter befindlichen Wassers zum Zeitpunkt t. Es gilt annähernd: V (t) = (10 – t) 2 (t in Sekunden, V (t) in Liter) 1) Zu welchem Zeitpunkt ist der Behälter leer? 2) Berechne die Änderung des Volumens in den Zeitintervallen [ 0; 1 ] und [ 9; 10 ]! Was bedeutet das negative Vorzeichen? 3) Berechne die mittlere Änderungsgeschwindigkeit des Volumens im Zeitintervall [ 0; 10 ]! 4) Gib eine Formel für die mittlere Änderungsgeschwindigkeit des Volumens im Zeitintervall [ t; z ] an! 5) Wir bezeichnen die Änderungsgeschwindigkeit des Volumens zum Zeitpunkt t mit V’ (t). Gib eine Formel für V’ (t) an! 6) Berechne die Änderungsgeschwindigkeit des Volumens zum Zeitpunkt 2 bzw. 8! LÖSUNG 1) V (t) = 0 É t = 10. Der Behälter ist zum Zeitpunkt t = 10Sekunden leer. 2) Änderung des Volumens im Zeitintervall [ 0; 1 ] =V(1) –V(0) = 92 – 10 2 = – 19 (ø) Änderung des Volumens im Zeitintervall [ 9; 10 ] = V (10) – V (9) = 02 – 1 2 = – 1 (ø) Das negative Vorzeichen bedeutet, dass das Volumen im jeweiligen Zeitintervall abnimmt. 3) mittlere Änderungsgeschwindigkeit des Volumens im Zeitintervall [ 0; 10 ] = = Volumsänderung ___ verstrichene Zeit = V (10) – V (0) __ 10 – 0 = 0 – 100 _ 10 = – 10 (ø/s) Das Volumen nimmt im Mittel (!) um 10 Liter pro Sekunde ab (am Anfang mehr, am Ende weniger, siehe die obige Abbildung). 4) mittlere Änderungsgeschwindigkeit des Volumens im Zeitintervall [ t; z ] = V (z) – V (t) __ z – t = = (10 – z) 2 – (10 – t) 2 ___ z – t = (100–20z+z2) – (100 – 20t + t2) _____ z – t = z 2 – t 2 – 20 (z – t) ___ z – t = (z – t) (z + t) – 20 (z – t) ____ z – t = z + t – 20 (ø/s) Diese Formel gilt nur für z ≠ t, weil sonst die Nenner der Brüche gleich 0 wären. 5) U nter V’ (t) versteht man naheliegenderweise den Grenzwert der mittleren Änderungsgeschwindigkeiten des Volumens für immer kleiner werdende Zeitintervalle [ t; z ]: V’ (t) = lim z ¥ t V (z) – V (t) __ z – t = lim z ¥ t (z + t – 20) Für die Berechnung dieses Limes überlegen wir so: Nähert sich z unbegrenzt der Zahl t, dann nähert sich z + t – 20unbegrenzt der Zahl t + t – 20 = 2 t – 20. Also gilt: V’ (t) =2t–20(ø/s) 6) Für t = 2bzw. t = 8ergibt sich: V’ (2) = – 16 (ø/s) bzw. V’ (8) = – 4 (ø/s) BEMERKUNG Der Begriff der Änderungsgeschwindigkeit ist eine Verallgemeinerung des gewöhnlichen Geschwindigkeitsbegriffs. Man kann ihn nicht nur auf den Ort s (t), sondern auf beliebige zeitabhängige Größen anwenden (zB. Volumen V (t), Temperatur T (t)). • Eine positive (mittlere) Änderungsgeschwindigkeit heißt auch (mittlere) Zunahmegeschwindigkeit. • E ine negative (mittlere) Änderungsgeschwindigkeit heißt auch (mittlere) Abnahmegeschwindigkeit. t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5 t = 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy MjU2NDQ5MQ==