23 2.2 Geschwindigkeit Hätten wir in der letzten Aufgabe die Geschwindigkeit v (3) nicht einfacher erhalten können? Wir hätten ja einfach in der Formel ‾v (3; z) = 5 · (z + 3) für z die Zahl 3 einsetzen können und damit v (3) = ‾v (3; 3) = 5 · (3 + 3) = 30erhalten. Dieses Vorgehen ist streng genommen nicht erlaubt, weil die Formel ‾v (3; z) = 5 · (z + 3) nur für z ≠ 3gilt. Wir können das Ergebnis jedoch rechtfertigen, indem wir folgendermaßen argumentieren: Wenn sich z unbegrenzt der Zahl 3 nähert, dann nähert sich die Zahl z + 3unbegrenzt der Zahl 3 + 3 = 6und somit die Zahl 5 · (z + 3) unbegrenzt der Zahl 5 · 6 = 30. Allgemein definiert man: Definition Bewegt sich ein Körper gemäß der Zeit Ort Funktion s: t ¦ s (t), dann setzt man: • Mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [ t 1; t 2 ] = ‾ v (t 1; t 2) = s (t 2) – s (t 1) __ t 2 – t 1 • Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = v (t) = lim z ¥ t ‾v (t; z) = lim z ¥ t s (z) – s (t) __ z – t BEMERKUNG v (t) wird auch als Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t bezeichnet. Beispielsweise gibt ein Tachometer im Auto zu jedem Zeitpunkt die jeweilige Momentangeschwindigkeit an. Für eine lineare Zeit-Ort-Funktion s: t ¥ k·t+dist‾v(t, z) = s(z) – s(t) __ z – t = (k · z + d) – (k · t + d) ___ z – t = k, dh. die mittlere Geschwindigkeit ist in jedem Zeitintervall [t, z]gleich k. Nähert sich nun z unbegrenzt der Zahl t, dann bleibt ‾v(t, z) stets unverändert gleich k. Somit ist v (t) =lim z ¥ t ‾v(t, z) = k. Das bedeutet: Die Geschwindigkeit ist zu jedem Zeitpunkt gleich hoch. Eine Bewegung mit linearer Zeit Ort Funktion heißt gleichförmige Bewegung. 2.11 (Fortsetzung von 2.10) Gib beim Bungee Jumping eine Formel für die mittlere Geschwindigkeit ‾v (4; z) an und begründe, dass daraus v (4) = 40 m/sfolgt! 2.12 Wird eine Kugel von der 60 m hoch gelegenen Plattform eines Aussichtsturms fallengelassen, so ist der zurückgelegte Weg (in m) nach t Sekunden annähernd gegeben durch s (t) = 5 t². 1) Berechne die mittlere Geschwindigkeit der Kugel während der ersten zwei Sekunden! 2) Berechne die Geschwindigkeit der Kugel zu den Zeitpunkten 1, 2, 3 (s)! 2.13 Die Höhe eines lotrecht nach oben geworfenen Körpers zum Zeitpunkt t ist ungefähr gegeben durch h (t) = v0 t – 5t 2, wobei v 0 die Abschussgeschwindigkeit ist (t in Sekunden, h (t) in Meter, v 0 in m/s). Berechne für v 0 = 34 m/s 1) die mittlere Geschwindigkeit des Körpers während der ersten zwei Sekunden, 2) die Geschwindigkeit des Körpers zu den Zeitpunkten 0, 1, 2 3, 4, 5 (s)! Was bedeutet eine negative Geschwindigkeit? AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy MjU2NDQ5MQ==