22 2 GRUNDBEGRIFFE DER DIFFERENTIALRECHNUNG 2.2 Geschwindigkeit 2.10 Beim Bungee Jumping befindet sich der Springer im freien Fall, wenn man vom Luftwiderstand absieht. Für den Weg s (t), den ein Körper beim freien Fall im Zeitintervall [ 0; t ] zurücklegt, gilt näherungsweise s (t) = 5 t2 (t in Sekunden, s in Meter). 1) Berechne die mittlere Geschwindigkeit des Springers im Zeitintervall [ 1; 4 ]! 2) Gib eine Formel für die mittlere Geschwindigkeit des Springers im Zeitintervall [ t; z ] an! 3) Berechne die Geschwindigkeit des Springers zum Zeitpunkt 3! LÖSUNG 1) Wir bezeichnen die mittlere Geschwindigkeit des Springers im Zeitintervall [ t 1; t 2 ] mit ‾v (t 1; t 2). ‾v (1; 4) = _zurückg_ele gte_r Weg benötigte Zeit = s (4) – s (1) __ 4 – 1 = 5 · 4 2 – 5·12 __ 3 = 25 (m/s) Der Springer legt in den einzelnen Sekunden nicht den gleichen Weg zurück. (Am Anfang legt er in einer Sekunde etwas weniger, gegen Ende in einer Sekunde etwas mehr zurück.) lm Mittel (!) legt er jedoch 25 m pro Sekunde zurück. 2) ‾v (t; z) = s (z) – s (t) __ z – t = 5 · z 2 –5·t2 __ z – t = 5 · (z 2 – t 2) __ z – t = 5 · (z – t) (z + t) ___ z – t = 5 · (z + t) Diese Formel gilt nur für z ≠ t, weil sonst die Nenner der Brüche gleich 0 wären. 3) Wir bezeichnen die Geschwindigkeit des Springers zum Zeitpunkt 3 mit v (3). Was soll man darunter überhaupt verstehen? Es liegt nahe, die mittleren Geschwindigkeiten in immer kleiner werdenden Zeitintervallen [ 3; z ] zu ermitteln, dh. z immer näher bei 3 zu wählen, wodurch man eine immer bessere Näherung für die gesuchte Geschwindigkeit v (3) erhält. Nach 2) gilt für t = 3: ‾v (3; z) = 5 · (z + 3)für z ≠ 3 In der nebenstehenden Tabelle wurde ‾v (3; z) für verschiedene, immer näher bei 3 liegende Werte von z berechnet. Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 3 kann man als „Grenzwert“ [lat.: Limes] dieser mittleren Geschwindigkeiten auffassen, wenn sich z unbegrenzt der Zahl 3 nähert (dh. in beliebige Nähe von 3 kommt). Dies schreibt man kurz so an: v (3) = lim z ¥ 3 ‾v (3; z) [Lies: v (3) ist der Limes von ‾v (3; z) für z gegen 3.] Aufgrund der Tabelle vermuten wir: Nähert sich z unbegrenzt der Zahl 3, dann nähert sich ‾v (3; z) unbegrenzt der Zahl 30. Also: v (3) = lim z ¥ 3 ‾v (3; z) = 30 m/s Zeitintervall [3; z] mittlere Geschwindigkeit ‾v (3; z) [ 3; 4 ] 35 [ 3; 3,5 ] 32,5 [ 3; 3,1 ] 30,5 [ 3; 3,01 ] 30,05 [ 3; 3,001 ] 30,005 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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