20 2 GRUNDBEGRIFFE DER DIFFERENTIALRECHNUNG Vorzeichen des Differenzenquotienten R Ist [ a; b ] ein Intervall, dann gilt b – a > 0und somit gilt: f (b) – f (a) __ b – a > 0 É f (b) – f (a) > 0 É f (a) < f (b) É É Sekantenfunktion streng monoton steigend in [ a; b ] É f steigt im „Endeffekt“ in [ a; b ] (muss aber in [ a; b ] nicht monoton steigend sein). Man sagt auch: f steigt im Mittel in [ a; b ]. a b f b – a f (b) – f (a) f (a) f (b) f (b) – f (a) __ b – a <0 É f (b) – f (a) < 0 É f (a) > f (b) É É Sekantenfunktion streng monoton fallend in [ a; b ] É f fällt im „Endeffekt“ in [ a; b ] (muss aber in [ a; b ] nicht monoton fallend sein). Man sagt auch: f fällt im Mittel in [ a; b ]. a b b – a †f (b) – f (a)† f (b) f (a) f f (b) – f (a) __ b – a = 0 É f (b) – f (a) = 0 É f (a) = f (b) É É Sekantenfunktion konstant in [ a; b ] É f ist im „Endeffekt“ in [ a; b ] weder wachsend noch fallend (muss aber in [ a; b ] nicht konstant sein). a b b – a f (b) f (a) f Zwei Auffassungen des Differenzenquotienten R In der nebenstehenden Abbildung sind eine reelle Funktion f und die zugehörige Sekantenfunktion s in einem Intervall [ a; b ] dargestellt. Der Differenzenquotient f(b) – f(a) __ b – a ist gleich der Steigung k der Sekantenfunktion s. Man erkennt an der Abbildung, dass diese Steigung k auf zwei Arten aufgefasst werden kann: • k = f(b) – f(a) __ b – a , dh. k ist gleich dem Verhältnis der Änderung der Funktionswerte von f zur Änderung der Argumente. • k = Änderung der Funktionswerte von s bei Zunahme von x um 1 = mittlere Änderung der Funktionswerte von f bei Zunahme von x um 1. Wir fassen zusammen: Merke Ein Differenzenquotient f (b) – f (a) __ b – a kann aufgefasst werden als • Verhältnis der Änderung der Funktionswerte zur Änderung der Argumente in [ a; b ], • mittlere (durchschnittliche) Änderung der Funktionswerte pro Argumenteinheit in [ a; b ]. Ó Lernapplet 99i8mu s a x x + 1 b 2. A. f (a) f (b) 1. A. 1 k f f(b) – f (a) b – a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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