19 2.1 DifferenzenQuotient – Mittlere Änderungsrate Definition Es sei f : A ¥ ℝ eine reelle Funktion mit a , b * A und a ≠ b. Die Zahl f(b) – f(a) __ b – a heißt Differenzenquotient oder mittlere Änderungsrate von f in [a; b]. Differenzenquotient als Sekantensteigung R Wir untersuchen zuerst den Differenzenquotienten einer linearen Funktion: Satz Der Differenzenquotient (die mittlere Änderungsrate) einer linearen Funktion f mit f (x) = k · x + dist in jedem Intervall [ a; b ] gleich der Steigung k. BEWEIS f (b) – f (a) __ b – a = k · b + d – (k · a + d) ___ b – a = k · b – k · a __ b – a = k · (b – a) __ b – a = k Ist die Funktion f in [a; b]nicht linear, so betrachten wir die lineare Funktion s mit s (a) = f (a)und s (b) = f (b). Diese Funktion heißt Sekantenfunktion von f in [a; b]. a b f b – a f (b) f (a) f (b) – f (a) Der Graph von f verläuft oft in der Nähe des Graphen von s. Ist k die Steigung der Sekantenfunktion, dann gilt aufgrund des obigen Satzes: f (b) – f (a) __ b – a = s (b) – s (a) __ b – a = k b – a f (a) = s (a) f (b) = s (b) f (b) – f (a) = = s (b) – s (a) a b s f Damit haben wir gezeigt: Satz Der Differenzenquotient (die mittlere Änderungsrate) einer Funktion f in [ a; b ] ist gleich der Steigung der Sekantenfunktion von f in [ a; b ]. Die Steigung k der Sekantenfunktion bezeichnet man auch als mittlere Steigung von f in [ a; b ]. Im Intervall [ a; b ] kann die Steigung der Funktion f an manchen Stellen kleiner als die Steigung der Sekantenfunktion s, an manchen Stellen größer sein. „Im Mittel” hat f jedoch im Intervall [ a; b ] die Steigung k der Sekantenfunktion. BEISPIEL f (x) = x 2 (mit x * ℝ 0 +) Die mittlere Steigung im Intervall [ 0; 2 ] beträgt f (2) – f (0) __ 2 – 0 = 2 2 – 0 2 _ 2 – 0 = 2. Das ist die Steigung der Sekantenfunktion von f in [0; 2]. 0 1 2 f (x) 1 2 3 4 x s f Ó Lernapplet 994i9g Ó Lernapplet 999k76 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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