18 GRUNDBEGRIFFE DER DIFFERENTIALRECHNUNG 2 2.1 Differenzenquotient – Mittlere Änderungsrate Temperaturänderungen R 2.01 1) In der Tabelle rechts sind die zu verschiedenen Uhrzeiten eines Tages gemessenen Temperaturen an einem bestimmten Ort angegeben. Berechne die Temperaturänderungen in den Zeitintervallen [8; 14], [12; 18] und [14; 20]! LÖSUNG Im Intervall [8; 14]: 17 – 9 = 8 (°C) Im Intervall [12; 18]: 13 – 13 = 0 (°C) Im Intervall [14; 20]: 11 – 17 = – 6 (°C) Uhrzeit t Temperatur T (t) in °C 8 9 10 10 12 13 14 17 16 20 18 13 20 11 2) Was bedeutet positives, was negatives Vorzeichen der Temperaturänderung? LÖSUNG Positives Vorzeichen bedeutet Temperaturzunahme, negatives Vorzeichen Temperaturabnahme. 3) Beschreibe, wie die Temperaturänderung im Zeitintervall [a; b] berechnet werden kann! LÖSUNG T emperatur zur Zeit b minus Temperatur zur Zeit a, kurz: T (b) – T (a) 4) Gib allgemein die Geschwindigkeit der Temperaturänderung im Zeitintervall [a; b] an! LÖSUNG Wir bestimmen die Temperaturänderung pro Zeiteinheit, dh wir dividieren die Temperaturzunahme durch die Zeitdauer: T (b) – T (a) __ b – a Ausdrücke der Form T (b) – T (a) __ b – a sind uns schon aus Mathematik verstehen 6 (Seite 57) als Differenzenquotient oder mittlere Änderungsrate bekannt. Wir wiederholen die Definition für eine beliebige reelle Funktion: GRUNDKOMPETENZEN Den Zusammenhang Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) – Differentialquotient („momentane“ Änderungsrate) auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes kennen und damit (verbal sowie in formaler Schreibweise) auch kontextbezogen anwenden können. Den Differenzen- und Differentialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen bzw. Differentialquotienten beschreiben können. Einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, […]. AN-R 1.2 AN-R 1.3 AN-R 2.1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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