12 1 GLEICHUNGEN UND POLYNOMFUNKTIONEN Faktorisieren von Polynomen R Polynome lassen sich in Faktoren zerlegen. BEISPIEL 1: f 1 (x) = x 3 – 2x2 –5x+6=(x+2)·(x–1)·(x–3) BEISPIEL 2: f 2 (x) = x 3 – 5x2 +8x–4=(x–1)·(x–2)2 = (x – 1) · (x – 2) · (x – 2) BEISPIEL 3: f 3 (x) = x 3 – x 2 +4x–4=(x–1)·(x2 + 4) Nach dem Produkt Null Satz erkennt man daraus: • Die Gleichung f1 (x) = 0 hat die Lösungen – 2, 1 und 3. • Die Gleichung f2 (x) = 0 hat nur die Lösungen 1 und 2. Weil der Faktor (x – 2) in der Zerlegung zweimal auftritt, bezeichnet man die Lösung 2 auch als „Doppellösung“. • Die Gleichung f3 (x) = 0 hat nur die Lösung 1, weil sich der quadratische Faktor (x 2 + 4) in R nicht weiter in Linearfaktoren zerlegen lässt. 1.25 Gib ein Beispiel einer Gleichung vom Grad 3 an, die 1) genau eine, 2) genau zwei, 3) genau drei reelle Lösungen hat! LÖSUNG ZU 1) Zum Beispiel hat die Gleichung (x + 2) 3 = 0bzw. x3 + 6 x2 + 12 x + 8 = 0nur die Lösung x = – 2. 1.26 Gib ein Beispiel einer Gleichung vom Grad 4 an, die 1) keine, 2) genau eine, 3) genau zwei, 4) genau drei, 5) genau vier reelle Lösungen hat! 1.27 Gegeben ist die Gleichung x 3 + ax + b = 0mit a,b * R. Gib jeweils konkrete Werte für a, b an, so dass die Gleichung a) genau eine reelle Lösung hat, b) genau drei reelle Lösungen hat! 1.28 Gegeben ist die Gleichung x4 + a x 2 + b = 0mit a,b * R. Gib jeweils konkrete Werte für a, b an, so dass die Gleichung a) genau vier reelle Lösungen hat, b) genau drei reelle Lösungen hat! 1.29 Gegeben sind zwei Gleichungen. Ordne jeder der beiden Gleichungen in der linken Tabelle die Anzahl ihrer reellen Lösungen aus A bis D zu! a) x 5 + 8 x4 + 7 x3 = 0 A 2 x 5 – 8 x3 +12x = 0 B 3 C 4 D 5 b) x 3 – 6 x2 +9x=0 A 1 x 6 + 6 x4 + 8 x2 = 0 B 2 C 3 D 4 Ó Arbeitsblatt 98sy3e kompakt Seite 15 AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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