11 1.1 AlgebraIsChe GleIChungen 1.19 Zeige mit Hilfe der Regel von Horner, dass die folgende Gleichung nur eine Lösung in ℝ besitzt! a) x 3 – 27 = 0 b) x 3 – 64 = 0 c) x 3 – 343 = 0 1.20 Zeige, dass x0 eine Lösung der gegebenen Gleichung ist, und ermittle alle weiteren reellen Lösungen dieser Gleichung durch Abspalten von x – x 0! a) x3 –7x+6=0, x 0 = 1 e) x 3 + 2 x2 –23x–60=0,x 0 = – 3 b) x3 + 2 x2 – x – 2 = 0, x 0 = 1 f) x 3 – 8 x2 +19x–12=0, x 0 = 3 c) x3 – 2 x2 –9x+18=0, x 0 = 2 g) x 3 – 3 x2 –6x+8=0, x 0 = 4 d) 4 x3 + 4 x2 –7x+2=0, x 0 = – 2 h) 2 x 3 + 9 x2 +5x+4=0, x 0 = – 4 1.21 Finde eine Lösung x0der folgenden Gleichung durch Probieren und ermittle anschließend alle weiteren reellen Lösungen der Gleichung durch Abspalten von x – x 0! a) x3 – 6 x2 +11x–6=0 e) x4 + x3 – 7 x2 – x + 6 = 0 b) x3 – x2 –10x–8=0 f) x4 + 2 x3 – 13 x2 –14x+24=0 c) 4 x3 –3x–1=0 g) 2 x4 – 8 x3 + 9 x2 –4x+4=0 d) 2 x3 – x2 –13x–6=0 h) 3 x4 + 11 x3 + 4 x2 –20x–16=0 1.22 Eine Gleichung der Form x3 + a x 2 + b x + c = 0hat die Lösungen x 1, x 2 und x3. Berechne a, b und c! a) x 1 = – 2, x 2 = 2und x3 = 4 b) x 1 = 0, x 2 = 1und x3 = 3 1.23 Eine Gleichung der Form x4 + a x 3 + b x2 + c x + d = 0hat die Lösungen x 1, x 2, x 3 und x4. Berechne a, b, c und d! a) x 1 = x 2 = – 1, x 3 = x 4 = 3 b) x 1 = x 2 = 0, x 3 = – 3, x 4 = 2 1.24 Eine Gleichung der Form x4 + a x 2 + b = 0hat die Lösungen ± 1und ± 2. Berechne a und b! Anzahl der Lösungen einer Gleichung vom Grad n R Hat eine algebraische Gleichung f (x) = 0 vom Grad n mehrere Lösungen x 1 , x 2 , …, x k , so kann man fortlaufend Linearfaktoren abspalten und erhält: f(x) = (x – x1)·(x–x2)·…·(x–xk) · g (x) Da f (x) vom Grad n ist, kann man aber höchstens n Linearfaktoren abspalten. Daraus ergibt sich unmittelbar der folgende Satz: Satz Eine Gleichung vom Grad n besitzt höchstens n reelle Lösungen. BEACHTE Eine Gleichung vom Grad n kann durchaus weniger als n reelle Lösungen haben. Zum Beispiel kann die Gleichung x3 – 3x2 +3x–1=0inderForm(x–1) 3 = 0 geschrieben werden, woraus man erkennt: Die Gleichung ist vom Grad 3, hat aber nur eine reelle Lösung, nämlich 1. AUFGABEN R kompakt Seite 15 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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