10 1 GLEICHUNGEN UND POLYNOMFUNKTIONEN 1.18 Zeige, dass 1 eine Lösung der Gleichung x3 + 2 x2 – 13 x + 10 = 0 ist, und ermittle alle Lösungen dieser Gleichung! LÖSUNG • Es gilt 13 + 2 · 12 – 13 · 1 + 10 = 0. Somit ist 1 eine Lösung der Gleichung. • U m die weiteren Lösungen zu ermitteln, faktorisieren wir das Polynom f (x) = x3 + 2 x2 – 13 x + 10. Dies kann man auf zwei Arten durchführen: 1. Art (mit der Regel von Horner): Wegen f (1) = 0 können wir schreiben: f(x) = f(x) – f(1) = x3 + 2 x2 –13x+10–(13 + 2 · 12 – 13 · 1 + 10) = = (x3 – 13) + 2 · (x2 – 12) – 13 · (x – 1) = = (x – 1) (x2 + x + 1) + 2 · (x – 1) (x + 1) – 13 · (x – 1) = = (x – 1) · [(x2 + x + 1) + 2 · (x + 1) – 13] = (x – 1) · (x2 + 3 x – 10) 2. Art (mittels Polynomdivision): (x3 + 2 x2 –13x+10):(x–1)=x2 +3x–10 (+) – x3 (–) + x2 3 x2 – 13 x (+) – 3 x2 (–) + 3 x –10x + 10 (–) + 10 x (+) – 10 0 Die Probe zur Division liefert: f (x) = (x – 1) · (x2 +3x–10) • In beiden Fällen kann die gegebene Gleichung so geschrieben werden: (x – 1) · (x2 +3x–10)=0 Lösungen x = 1 = x = 2 = x = – 5 (Rechne nach!) Mit Hilfe der Regel von Horner kann man den folgenden Satz beweisen: Satz Ist f (x) ein Polynom vom Grad n und x 0eine Lösung der Gleichung f (x) = 0, dann gilt f(x) = (x – x 0 ) · g (x) für alle x * ℝ, wobei g (x) ein Polynom vom Grad n – 1 ist. BEWEIS f (x) = an x n + a n – 1 x n – 1 +…+a 1 x + a0 Wegen f (x0) = 0 gilt: f(x) = f(x) – f(x0) = an x n + a n – 1 x n – 1 +…+a 1 x + a0 – (a n x 0 n + a n – 1 x 0 n – 1 +…+a 1 x 0 + a 0 ) = = a n(x n – x 0 n) + a n – 1 (x n – 1 – x 0 n – 1) + … + a 1(x – x0) Auf jede Klammer in diesem Ausdruck wenden wir die Regel von Horner an: f (x) = an(x – x0) (x n – 1 + …) + a n – 1 (x – x0) (x n – 2 + …) + … + a 1 (x – x0) = =(x–x0) (a n x n – 1 + …) + (x – x 0) (a n – 1 x n – 2 + …) + … + a 1 (x – x0) = =(x–x0) (a n x n – 1 + …) = (x – x 0) · g (x) Wegen an ≠ 0 ist g (x) ein Polynom vom Grad n – 1. Definition Den Faktor x – x 0 im obigen Satz bezeichnet man als Linearfaktor zur Lösung x0 , das Herstellen der Zerlegung f (x) = (x – x 0) · g (x) als Abspalten des Linearfaktors x – x 0 . Durch das Abspalten eines Linearfaktors kann das Lösen einer Gleichung vom Grad n auf das Lösen einer Gleichung vom Grad n – 1 zurückgeführt werden. Allerdings setzt dies voraus, dass man eine Lösung x0 der gegebenen Gleichung kennt. Eine solche kann man manchmal durch Probieren finden. Regel von Horner kompakt Seite 15 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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