7 2 2 4 4 6 2 4 -2 -4 Mathematik verstehen WOSCHITZ | KOTH | SALZGER | ULOVEC QuickMedia App für digitale Zusatzmaterialien Teildruck Die Verkaufsauflage erscheint unter der ISBN 978-3-209-12363-3
Mathematik verstehen 7, Schülerbuch und E-Book Teildruck zu ISBN 978-3-209-12363-3, W6529-153 Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, Sie bekommen dieses Schulbuch von der Republik Österreich für Ihre Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Technische Zeichnungen: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Bildnachweis: U1: Rudolf Ernst / Getty Image - iStockphoto; S. 22: Lovrencg / Fotolia; S. 26: fotofuerst / Fotolia; S. 44: pavlinec / Thinkstock; S. 45: tom / Fotolia; Teildruck © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2025 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Mag. Melanie Zimmermann, Wien Herstellung: Ing. Bianca Mannsberger, Wien Umschlaggestaltung und Layout: normaldesign GbR, Schwäbisch Gmünd Druck: Brüder Glöckler GmbH, Wöllersdorf Teildruck zu ISBN 978-3-209-12363-3 (Mathematik verstehen OS SB 7 + E-Book) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Mathematik verstehen 7 Hochschulprofessorin Mag. Dr. Maria Koth Prof. Mag. Dr. Helge Woschitz Prof. Mag. Dr. Bernhard Salzger MMag. Dr. Andreas Ulovec Unter Mitarbeit von: Univ. Prof. Mag. Dr. Günther Malle Prof. Mag. Sonja Malle Die Online-Ergänzung auf www.oebv.at wurde erstellt von: Hochschulprofessor Mag. Dr. Christian Dorner Doz. Dr. Franz Embacher Prof. Mag. Dr. Bernhard Salzger MMag. Dr. Andreas Ulovec www.oebv.at KOTH | SALZGER | ULOVEC | WOSCHITZ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Arbeiten mit Mathematik verstehen Aufbau Jedes Kapitel beginnt mit einer Aufzählung der Grundkompetenzen, die in diesem Kapitel erworben werden sollen. Im Buch wird zwischen Lehrplan L und schriftlicher Reifeprüfung R unterschieden. Die pinke Linie am linken Seitenrand zeigt genau an, was für die schriftliche Reifeprüfung relevant ist. Jedes Kapitel beinhaltet eine Seite Technologie kompakt. Hier werden die wichtigsten Befehle für GeoGebra und Casio Class Pad II aufgezeigt. Am Ende jedes Kapitels findet man einen Kompetenzcheck, in dem die geforderten Grundkompetenzen durch Aufgaben für Typ 1 und Typ 2 überprüft werden. Ebenfalls werden die kontextreduzierten Typ 2-Aufgaben extra ausgezeichnet. Bei jeder Aufgabennummer werden die zugehörigen Grundkompetenzen jeweils links davon angeführt. Es gibt auch zwei Semesterchecks mit Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2, die alle Grundkompetenzen noch einmal abprüfen. Symbole Dieses Symbol kennzeichnet Typ 2-Aufgaben mit einem reduziertem Kontext. Dieses Symbol kennzeichnet Aufgaben oder Stellen, an denen ein Technologieeinsatz möglich bzw. empfehlenswert ist. Dieses Symbol verweist auf die Technologie kompakt-Seiten, auf denen man kurze Anleitungen zum Technologieeinsatz von GeoGebra bzw. Casio Class Pad II vorfindet. Dieses Symbol verweist auf das Zusatzheft Mathematik verstehen Technologietraining GeoGebra Digitales Zusatzmaterial QuickMedia App 1. Scanne den QR-Code (unten) und lade die App auf dein Smartphone oder dein Tablet. 2. Scanne deinen Buchumschlag oder wähle dein Schulbuch in der App-Medienliste aus. 3. Scanne eine mit gekennzeichnete Buchseite oder wähle ein Audio/Video aus der App-Medienliste aus. 4. Spiele das Audio/Video ab. Online Codes Hier gibt es eine Online-Ergänzung. Der Code führt direkt zu den Inhalten. Im Digitalen Zusatzmaterial befinden sich Applets, Lernapplets, Arbeitsblätter, Lesetexte, Fragen zum Grundwissen und TI-Nspire kompakt. www.oebv.at Suchbegriff / ISBN / SBNr. / Online-Code Suchen REDUZIERTER KONTEXT kompakt S. xxx S. xxx Android iOS Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3 INHALTSVERZEICHNIS 5. und 6. Semester GLEICHUNGEN UND POLYNOMFUNKTIONEN 6 1.1 Algebraische Gleichungen 6 1.2 Nullstellen von Polynomfunktionen 13 TECHNOLOGIE KOMPAKT 15 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 16 GRUNDBEGRIFFE DER DIFFERENTIALRECHNUNG 18 2.1 Differenzenquotient ‒ Mittlere Änderungsrate 18 2.2 Geschwindigkeit 22 2.3 Differentialquotient ‒ Änderungsrate 24 2.4 Die Steigung einer Funktion ‒ Tangente 27 2.5 Ableitungen ‒ Differentiation von Polynomfunktionen 32 2.6 Schreibweisen für den Differenzen- und Differentialquotienten 37 2.7 Höhere Ableitungen 40 TECHNOLOGIE KOMPAKT 41 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 42 UNTERSUCHEN VON POLYNOMFUNKTIONEN 46 3.1 Wiederholung: Monotonie und Extremstellen von Funktionen 46 3.2 Funktionsverlauf und erste Ableitung 50 3.3 Untersuchen von Polynomfunktionen mithilfe der ersten Ableitung 52 3.4 Funktionsverlauf und höhere Ableitung 55 3.5 Eigenschaften von Polynomfunktionen 61 3.6 Aufsuchen von Polynomfunktionen 64 3.7 Graphen von Funktionen und deren Ableitungsfunktionen 68 3.8 Extremwertaufgaben 76 TECHNOLOGIE KOMPAKT 82 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 83 KREIS UND KUGEL 88 4.1 Der Kreis 88 4.2 Kreis und Gerade 92 4.3 Die Kugel 97 TECHNOLOGIE KOMPAKT 99 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 100 1 2 3 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
4 ELLIPSE, HYPERBEL UND PARABEL 102 5.1 Die Ellipse 102 5.2 Die Hyperbel 109 5.3 Die Parabel 114 5.4 Kegelschnitte 118 TECHNOLOGIE KOMPAKT 119 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 120 KURVEN 124 6.1 Kurven in der Ebene 124 6.2 Kurven im Raum 130 TECHNOLOGIE KOMPAKT 131 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 132 SEMESTERCHECK 134 ERWEITERUNG DER DIFFERENTIALRECHNUNG 143 7.1 Ableitungen weiterer Funktionen 143 7.2 Weitere Ableitungsregeln 147 7.3 Rationale Funktionen 150 7.4 Ableitung von Verkettungen 152 7.5 Ableitung von Umkehrfunktionen 154 7.6 Berechnung von Änderungsgeschwindigkeiten 156 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 158 EXAKTIFIZIERUNG DER DIFFERENTIALRECHNUNG 161 8.1 Grenzwertregeln 161 8.2 Stetigkeit 162 8.3 Differenzierbarkeit 164 8.4 Sätze über stetige und differenzierbare Funktionen 165 8.5 Exaktifizierung des Grenzwertbegriffs 167 8.6 Historisches zur Differentialrechnung 171 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 175 ANWENDUNGEN DER DIFFERENTIALRECHNUNG 177 9.1 Anwendungen in der Wirtschaftsmathematik 177 9.2 Anwendungen in den Naturwissenschaften 189 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 191 5 6 7 8 9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
5 WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN 195 10.1 Einige Wiederholungen aus der beschreibenden Statistik 195 10.2 Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen 198 10.3 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsvariablen 204 TECHNOLOGIE KOMPAKT 208 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 209 DIE BINOMIALVERTEILUNG UND WEITERE VERTEILUNGEN 213 11.1 Fakultäten und Binomialkoeffizienten 213 11.2 Die Binomialverteilung 220 11.3 Weitere diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 228 TECHNOLOGIE KOMPAKT 231 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 233 KOMPLEXE ZAHLEN 235 12.1 Reelle, imaginäre und komplexe Zahlen 235 12.2 Rechnen mit komplexen Zahlen 237 12.3 Gleichungslösen mit komplexen Zahlen 239 12.4 Geometrische Darstellung komplexer Zahlen 242 12.5 Weitere Darstellungen komplexer Zahlen 243 12.6 Historisches zu den Zahlbereichen 246 TECHNOLOGIE KOMPAKT 251 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 252 SEMESTERCHECK 255 10 11 12 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
6 GRUNDKOMPETENZEN Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: […] Gleichungen, […] Umformungen, Lösbarkeit. Den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Nullstellen […] wissen. AG-R 1.2 FA-R 4.4 GLEICHUNGEN UND POLYNOMFUNKTIONEN 1.1 Algebraische Gleichungen Wiederholung: Quadratische Gleichungen R Eine Gleichung der Form a · x2 + b · x + c = 0 (mit a, b, c * ℝ und a ≠ 0) heißt quadratische Gleichung. Mittels Division durch a lässt sich eine solche Gleichung auf die normierte Form x 2 +px+q=0(mitp,q * ℝ) bringen. Lösungsformeln: • x 2 +px+q=0 É x = – p _ 2 ± � _______ ( p _ 2 ) 2 – q • a x 2 +bx+c=0 É x = – b ± � _______ b 2 – 4 a c ___ 2 a Eine quadratische Gleichung kann genau zwei reelle Zahlen als Lösungen, genau eine reelle Zahl als Lösung oder keine reelle Zahl als Lösung haben. Manche Gleichungen können mit dem folgenden Satz gelöst werden: Produkt-Null-Satz: Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist. 1.01 Löse die Gleichung in ℝ! a) x 2 +12x+20=0 b) 2 x 2 –7x=–5 c) 4 x 2 –4x+1=0 d) 6 x 2 +5x=1 1.02 Löse die Gleichung in ℝ unter Verwendung des Produkt Null Satzes! a) (x–1)(x+5)=0 c) 5·(2x+3)(x–4)=0 e) x·(x–5)2 = 0 b) (x + 0,3) · (x + 0,7) = 0 d) x · (x – 3) · (x + 1) = 0 f) (x – 1) (x2 –2x–8)=0 1.03 Gib eine quadratische Gleichung a x2 + bx + c = 0mit a,b,c * Z und a ≠ 0 an, die a) die Lösungen 3 und – 4 hat, c) nur die Lösung 4 hat, b) die Lösungen – 2 und 8 hat, d) zwei ganzzahlige positive Lösungen hat! AUFGABEN R 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
7 1.1 AlgebraIsChe GleIChungen Algebraische Gleichungen vom Grad n R Definition (1) Ein Ausdruck der Form a n x n + a n – 1 x n – 1 +…+a 1 x + a0 (mit n * N, an , an – 1 , …, a0 * R und an ≠ 0) heißt Polynom vom Grad n. (2) E ine Gleichung der Form an x n + a n – 1 x n – 1 +…+a 1 x + a0 = 0 (mit n * N, an , an – 1 , …, a0 * R und an ≠ 0) heißt (algebraische) Gleichung vom Grad n. Für algebraische Gleichungen vom Grad 2 kennen wir Lösungsformeln, für algebraische Gleichungen mit höherem Grad jedoch nicht. Im Folgenden besprechen wir einige Methoden, die zum Lösen solcher Gleichungen ohne Technologieeinsatz nützlich sein können. Lösen von Gleichungen durch Anwenden binomischer Formeln R Wir wiederholen zunächst die binomischen Formeln: 1) (a + b)2 = a 2 + 2ab + b2 2) (a – b)2 = a 2 – 2ab + b2 3) (a+b)·(a–b)=a2 – b 2 1.04 Löse die Gleichung a) x 2 +8x+16=0, b) x 2 –6x+9=0, c) x 4 – 81 = 0 in ℝ! LÖSUNG a) Nach der Formel 1) lässt sich die Gleichung so anschreiben: (x + 4)2 = 0 Diese Gleichung hat nur die reelle Lösung – 4. Die Lösungsmenge lautet: L = {– 4}. b) Nach der Formel 2) lässt sich die Gleichung so anschreiben: (x – 3)2 = 0 Diese Gleichung hat nur die reelle Lösung 3. Die Lösungsmenge lautet: L = { 3 }. c) Nach der Formel 3) lässt sich die Gleichung so anschreiben: (x2 + 9) · (x2 – 9) = 0 Nach dem Produkt Null Satz folgt: x 2 + 9 = 0 = x 2 – 9 = 0 Die erste dieser beiden Gleichungen hat keine reelle Lösung, die zweite hat die reellen Lösungen 3 und – 3. Die Lösungsmenge lautet: L = {– 3, 3}. 1.05 Löse die Gleichung in ℝ mit Hilfe einer binomischen Formel! a) x 4 = 16 b) x 4– 625 = 0 c) x 2 –2x+1=0 d) x 2 +12x+36=0 Lösen von Gleichungen durch Herausheben R 1.06 Löse die Gleichung a) x 3 – 4x2 – 5x = 0, b) x 2 (x 2 – 2x + 1) = 2(x2 – 2x + 1) in ℝ! LÖSUNG a) x 3 – 4x2 –5x=0 b) x 2 (x 2 – 2x + 1) – 2(x2 –2x+1)=0 Wir heben x heraus: Wir heben (x 2 – 2 x + 1) heraus: x · (x2 –4x–5)=0 (x 2 – 2) · (x2 –2x+1)=0 Nach dem Produkt Null Satz gilt: Nach dem Produkt Null Satz gilt: x = 0 = x 2 –4x–5=0 x 2 – 2 = 0 = x 2 –2x+1=0 x = 0 = x = – 1 = x = 5 x = � _ 2 = x = – � _ 2 = x = 1 L = {–1, 0, 5} L={–� _ 2 , 1, � _ 2 } AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
8 1 GLEICHUNGEN UND POLYNOMFUNKTIONEN 1.07 (Fortsetzung von 1.06 a) Jemand löst die Gleichung x 3 – 4x2 –5x=0so: x3 – 4 x2 –5x=0 | : x x2 –4x–5=0 x = – 1 = x = 5 Die Lösung x = 0 ist verlorengegangen. Wo liegt der Fehler? LÖSUNG Durch x darf man nur dividieren, wenn x ≠ 0 ist. Es wurde also stillschweigend x ≠ 0 vorausgesetzt und dabei übersehen, dass x = 0 eine Lösung der Gleichung ist. BEACHTE Wenn man in einer Gleichung durch eine Unbekannte dividiert, können Lösungen verloren gehen. 1.08 Löse die Gleichung in R durch Herausheben ohne Technologieeinsatz! a) x 4 – 4 x3 = 0 c) x 4 + 25 x2 = 0 e) x 6 + 3 x5 = 0 g) x 6 + x 3 = 0 b) x 4 + 9 x3 = 0 d) x 4 – 9 x2 = 0 f) x 6 – 4 x4 = 0 h) x 6 – 4 x2 = 0 1.09 Löse die Gleichung in R durch Herausheben ohne Technologieeinsatz! a) x 3 – 8 x2 +12x = 0 c) x 3 + 7 x2 +12x = 0 e) x 4 – 8 x3 + 16 x2 = 0 b) 2 x 3 + 5 x2 + 2x = 0 d) 5 x 4 + 3 x3 – 2 x2 = 0 f) 4 x 5 + 5 x4 + 2 x3 = 0 1.10 Löse die Gleichung in R durch Herausheben ohne Technologieeinsatz! a) x2 (x + 3) – (x + 3) = 0 c) ( x2 – 7 x) ( x2 – 3) = – 6 x ( x2 – 3) b) x2 (x – 4) = 2x(x – 4) d) ( x2 + 1) ( x2 – 1) = 17 ( x2 – 1) 1.11 Sei a > 0. Löse die Gleichung in R durch Herausheben! a) x 5 + a x4 = 0 d) x 5 – a x3 = 0 g) x 6 + a x5 = 0 j) x 6 – a x3 = 0 b) x 5 – a x4 = 0 e) x 5 + a x2 = 0 h) x 6 + a x4 = 0 k) x 6 – a x2 = 0 c) x 5 + a x3 = 0 f) a x 5 – x 2 = 0 i) x 6 + a x3 = 0 l) x 6 –ax=0 Lösen von Gleichungen durch Substitution R 1.12 Ermittle alle reellen Lösungen der Gleichung a) x 4 – x 2 – 2 = 0, b) x 6 – 9x3 + 8 = 0! LÖSUNG a) Substitution: Wir setzen x2 = u. b) Substitution: Wir setzen x3 = u. u 2 – u – 2 = 0 u 2 –9u+8=0 u = – 1 = u = 2 (Rechne nach!) u = 1 = u = 8 (Rechne nach!) Rücksubstition: Wir setzen u = x2. Rücksubstition: Wir setzen u = x3. x 2 = – 1 = x 2 = 2 x 3 = 1 = x 3 = 8 Die Gleichung x2 = –1 hat keine Die Gleichung x 3 = 1 hat die Lösung 1, Lösung in ℝ, die Gleichung x2 = 2 die Gleichung x3 = 8 hat die Lösung 2. hat die Lösungen x = � _ 2und x = –� _ 2 . L = {1, 2} L = {– � _ 2 , � _ 2 } BEMERKUNG Eine Gleichung der Form a · x 4 +b·x2 + c = 0 mit a ≠ 0 bezeichnet man als biquadratische Gleichung. AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
9 1.1 AlgebraIsChe GleIChungen 1.13 Ermittle alle reellen Lösungen der Gleichung durch Substitution ohne Technologieeinsatz! a) x 4 – 20 x 2 + 64 = 0 e) x 4 + 8 x2 + 12 = 0 i) x 6 – 10 x3 + 16 = 0 b) x 4 – 5 x2 + 6 = 0 f) x 4 – 6 x2 + 9 = 0 j) x 6 + x 3 – 12 = 0 c) x 4 + 8 x2 – 9 = 0 g) 5 x 4 – 4 x2 + 1 = 0 k) 8 x 6 + 9 x3 + 1 = 0 d) 2 x 4 – 3 x2 – 2 = 0 h) 4 x 4 – 5 x2 + 1 = 0 l) 4 x 6 – 3 x3 – 1 = 0 1.14 Ermittle alle reellen Lösungen der Gleichung durch Substitution ohne Technologieeinsatz! a) (x + 1)4 + (x + 1)2 – 20 = 0 c) (x + 2)4 – 5 (x + 2)2 + 4 = 0 b) (x – 1)4 – 10 (x – 1)2 + 9 = 0 d) (x – 2)4 – 2(x – 2)2 – 8 = 0 1.15 Gegeben sind fünf Gleichungen. Kreuze jene beiden Gleichungen an, die a) keine reellen Lösungen haben, x 4 – 6 x2 + 5 = 0 x 4 + 8 x2 + 12 = 0 x 4 – 3 x2 + 4 = 0 x 4 + 4 x2 – 5 = 0 x 4 + x 2 – 6 = 0 b) genau zwei verschiedene reelle Lösungen haben! 8 x 4 – 6 x2 + 1 = 0 x 4 – 4 x2 + 12 = 0 8 x 4 + 2 x2 – 1 = 0 x 4 – 6 x2 + 8 = 0 6 x 4 – 5 x2 – 1 = 0 1.16 Gegeben ist die Gleichung 2 x4 + a x 2 + b = 0mit a, b * R. Gib konkrete Werte für a, b an, so dass die Gleichung vier verschiedenen reelle Lösungen hat! Lösen von Gleichungen durch Abspalten von Linearfaktoren R Die binomische Formel a2 – b 2 = (a – b) (a + b) lässt sich wie folgt zu einer Regel verallgemeinern, die auf den Mathematiker William George Horner (1786 – 1837) zurückgeht. Satz (Regel von Horner) Für alle a, b * R und alle n * N* gilt: an – bn = (a – b) · (an – 1 + an – 2 · b1 + … + a1 · bn – 2 + bn – 1) BEWEIS (a – b) · (an – 1 + an – 2 · b + … + a · bn – 2 + bn – 1) = = an + an – 1 · b + an – 2 · b2 + … + a2 · bn – 2 + a · bn – 1 – – an – 1 · b – an – 2 · b2 – … – a2 · bn – 2 – a · bn – 1 – bn = an – bn 1.17 Man sieht sofort, dass die Gleichung x 3 – 8 = 0 die Lösung x = 2 hat. Aber gibt es möglicherweise noch weitere Lösungen? Zeige mit der Regel von Horner, dass dies nicht der Fall ist! LÖSUNG Mit Hilfe der Regel von Horner lässt sich die Gleichung so schreiben: x 3 –8=x3 – 2 3 = (x – 2) (x2 +x·2+22) = (x – 2) (x2 +2x+4)=0 É x – 2 = 0 = x 2 +2x+4=0 Die erste Gleichung hat die Lösung x = 2. Die quadratische Gleichung hat keine reelle Lösung, da die Diskriminante negativ ist. Somit ist 2 die einzige Lösung der gegebenen Gleichung. AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
10 1 GLEICHUNGEN UND POLYNOMFUNKTIONEN 1.18 Zeige, dass 1 eine Lösung der Gleichung x3 + 2 x2 – 13 x + 10 = 0 ist, und ermittle alle Lösungen dieser Gleichung! LÖSUNG • Es gilt 13 + 2 · 12 – 13 · 1 + 10 = 0. Somit ist 1 eine Lösung der Gleichung. • U m die weiteren Lösungen zu ermitteln, faktorisieren wir das Polynom f (x) = x3 + 2 x2 – 13 x + 10. Dies kann man auf zwei Arten durchführen: 1. Art (mit der Regel von Horner): Wegen f (1) = 0 können wir schreiben: f(x) = f(x) – f(1) = x3 + 2 x2 –13x+10–(13 + 2 · 12 – 13 · 1 + 10) = = (x3 – 13) + 2 · (x2 – 12) – 13 · (x – 1) = = (x – 1) (x2 + x + 1) + 2 · (x – 1) (x + 1) – 13 · (x – 1) = = (x – 1) · [(x2 + x + 1) + 2 · (x + 1) – 13] = (x – 1) · (x2 + 3 x – 10) 2. Art (mittels Polynomdivision): (x3 + 2 x2 –13x+10):(x–1)=x2 +3x–10 (+) – x3 (–) + x2 3 x2 – 13 x (+) – 3 x2 (–) + 3 x –10x + 10 (–) + 10 x (+) – 10 0 Die Probe zur Division liefert: f (x) = (x – 1) · (x2 +3x–10) • In beiden Fällen kann die gegebene Gleichung so geschrieben werden: (x – 1) · (x2 +3x–10)=0 Lösungen x = 1 = x = 2 = x = – 5 (Rechne nach!) Mit Hilfe der Regel von Horner kann man den folgenden Satz beweisen: Satz Ist f (x) ein Polynom vom Grad n und x 0eine Lösung der Gleichung f (x) = 0, dann gilt f(x) = (x – x 0 ) · g (x) für alle x * ℝ, wobei g (x) ein Polynom vom Grad n – 1 ist. BEWEIS f (x) = an x n + a n – 1 x n – 1 +…+a 1 x + a0 Wegen f (x0) = 0 gilt: f(x) = f(x) – f(x0) = an x n + a n – 1 x n – 1 +…+a 1 x + a0 – (a n x 0 n + a n – 1 x 0 n – 1 +…+a 1 x 0 + a 0 ) = = a n(x n – x 0 n) + a n – 1 (x n – 1 – x 0 n – 1) + … + a 1(x – x0) Auf jede Klammer in diesem Ausdruck wenden wir die Regel von Horner an: f (x) = an(x – x0) (x n – 1 + …) + a n – 1 (x – x0) (x n – 2 + …) + … + a 1 (x – x0) = =(x–x0) (a n x n – 1 + …) + (x – x 0) (a n – 1 x n – 2 + …) + … + a 1 (x – x0) = =(x–x0) (a n x n – 1 + …) = (x – x 0) · g (x) Wegen an ≠ 0 ist g (x) ein Polynom vom Grad n – 1. Definition Den Faktor x – x 0 im obigen Satz bezeichnet man als Linearfaktor zur Lösung x0 , das Herstellen der Zerlegung f (x) = (x – x 0) · g (x) als Abspalten des Linearfaktors x – x 0 . Durch das Abspalten eines Linearfaktors kann das Lösen einer Gleichung vom Grad n auf das Lösen einer Gleichung vom Grad n – 1 zurückgeführt werden. Allerdings setzt dies voraus, dass man eine Lösung x0 der gegebenen Gleichung kennt. Eine solche kann man manchmal durch Probieren finden. Regel von Horner kompakt Seite 15 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
11 1.1 AlgebraIsChe GleIChungen 1.19 Zeige mit Hilfe der Regel von Horner, dass die folgende Gleichung nur eine Lösung in ℝ besitzt! a) x 3 – 27 = 0 b) x 3 – 64 = 0 c) x 3 – 343 = 0 1.20 Zeige, dass x0 eine Lösung der gegebenen Gleichung ist, und ermittle alle weiteren reellen Lösungen dieser Gleichung durch Abspalten von x – x 0! a) x3 –7x+6=0, x 0 = 1 e) x 3 + 2 x2 –23x–60=0,x 0 = – 3 b) x3 + 2 x2 – x – 2 = 0, x 0 = 1 f) x 3 – 8 x2 +19x–12=0, x 0 = 3 c) x3 – 2 x2 –9x+18=0, x 0 = 2 g) x 3 – 3 x2 –6x+8=0, x 0 = 4 d) 4 x3 + 4 x2 –7x+2=0, x 0 = – 2 h) 2 x 3 + 9 x2 +5x+4=0, x 0 = – 4 1.21 Finde eine Lösung x0der folgenden Gleichung durch Probieren und ermittle anschließend alle weiteren reellen Lösungen der Gleichung durch Abspalten von x – x 0! a) x3 – 6 x2 +11x–6=0 e) x4 + x3 – 7 x2 – x + 6 = 0 b) x3 – x2 –10x–8=0 f) x4 + 2 x3 – 13 x2 –14x+24=0 c) 4 x3 –3x–1=0 g) 2 x4 – 8 x3 + 9 x2 –4x+4=0 d) 2 x3 – x2 –13x–6=0 h) 3 x4 + 11 x3 + 4 x2 –20x–16=0 1.22 Eine Gleichung der Form x3 + a x 2 + b x + c = 0hat die Lösungen x 1, x 2 und x3. Berechne a, b und c! a) x 1 = – 2, x 2 = 2und x3 = 4 b) x 1 = 0, x 2 = 1und x3 = 3 1.23 Eine Gleichung der Form x4 + a x 3 + b x2 + c x + d = 0hat die Lösungen x 1, x 2, x 3 und x4. Berechne a, b, c und d! a) x 1 = x 2 = – 1, x 3 = x 4 = 3 b) x 1 = x 2 = 0, x 3 = – 3, x 4 = 2 1.24 Eine Gleichung der Form x4 + a x 2 + b = 0hat die Lösungen ± 1und ± 2. Berechne a und b! Anzahl der Lösungen einer Gleichung vom Grad n R Hat eine algebraische Gleichung f (x) = 0 vom Grad n mehrere Lösungen x 1 , x 2 , …, x k , so kann man fortlaufend Linearfaktoren abspalten und erhält: f(x) = (x – x1)·(x–x2)·…·(x–xk) · g (x) Da f (x) vom Grad n ist, kann man aber höchstens n Linearfaktoren abspalten. Daraus ergibt sich unmittelbar der folgende Satz: Satz Eine Gleichung vom Grad n besitzt höchstens n reelle Lösungen. BEACHTE Eine Gleichung vom Grad n kann durchaus weniger als n reelle Lösungen haben. Zum Beispiel kann die Gleichung x3 – 3x2 +3x–1=0inderForm(x–1) 3 = 0 geschrieben werden, woraus man erkennt: Die Gleichung ist vom Grad 3, hat aber nur eine reelle Lösung, nämlich 1. AUFGABEN R kompakt Seite 15 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
12 1 GLEICHUNGEN UND POLYNOMFUNKTIONEN Faktorisieren von Polynomen R Polynome lassen sich in Faktoren zerlegen. BEISPIEL 1: f 1 (x) = x 3 – 2x2 –5x+6=(x+2)·(x–1)·(x–3) BEISPIEL 2: f 2 (x) = x 3 – 5x2 +8x–4=(x–1)·(x–2)2 = (x – 1) · (x – 2) · (x – 2) BEISPIEL 3: f 3 (x) = x 3 – x 2 +4x–4=(x–1)·(x2 + 4) Nach dem Produkt Null Satz erkennt man daraus: • Die Gleichung f1 (x) = 0 hat die Lösungen – 2, 1 und 3. • Die Gleichung f2 (x) = 0 hat nur die Lösungen 1 und 2. Weil der Faktor (x – 2) in der Zerlegung zweimal auftritt, bezeichnet man die Lösung 2 auch als „Doppellösung“. • Die Gleichung f3 (x) = 0 hat nur die Lösung 1, weil sich der quadratische Faktor (x 2 + 4) in R nicht weiter in Linearfaktoren zerlegen lässt. 1.25 Gib ein Beispiel einer Gleichung vom Grad 3 an, die 1) genau eine, 2) genau zwei, 3) genau drei reelle Lösungen hat! LÖSUNG ZU 1) Zum Beispiel hat die Gleichung (x + 2) 3 = 0bzw. x3 + 6 x2 + 12 x + 8 = 0nur die Lösung x = – 2. 1.26 Gib ein Beispiel einer Gleichung vom Grad 4 an, die 1) keine, 2) genau eine, 3) genau zwei, 4) genau drei, 5) genau vier reelle Lösungen hat! 1.27 Gegeben ist die Gleichung x 3 + ax + b = 0mit a,b * R. Gib jeweils konkrete Werte für a, b an, so dass die Gleichung a) genau eine reelle Lösung hat, b) genau drei reelle Lösungen hat! 1.28 Gegeben ist die Gleichung x4 + a x 2 + b = 0mit a,b * R. Gib jeweils konkrete Werte für a, b an, so dass die Gleichung a) genau vier reelle Lösungen hat, b) genau drei reelle Lösungen hat! 1.29 Gegeben sind zwei Gleichungen. Ordne jeder der beiden Gleichungen in der linken Tabelle die Anzahl ihrer reellen Lösungen aus A bis D zu! a) x 5 + 8 x4 + 7 x3 = 0 A 2 x 5 – 8 x3 +12x = 0 B 3 C 4 D 5 b) x 3 – 6 x2 +9x=0 A 1 x 6 + 6 x4 + 8 x2 = 0 B 2 C 3 D 4 Ó Arbeitsblatt 98sy3e kompakt Seite 15 AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
13 1.2 Nullstellen Von PolynomfunktIonen 1.2 Nullstellen von Polynomfunktionen Definition Eine reelle Funktion f mit f (x) = an x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a0 (mit n * N, an , an – 1 , …, a0 * R und an ≠ 0) heißt Polynomfunktion vom Grad n. Häufig sind jene Stellen von Interesse, an denen eine Funktion den Wert 0 annimmt. Definition Es sei f: A ¥ ℝ eine reelle Funktion. Eine Stelle x 0 * A heißt Nullstelle von f, wenn f (x0) = 0 ist. BEACHTE • x 0 ist Nullstelle von f É x 0 ist Lösung der Gleichung f (x) = 0 • Eine Nullstelle x0 ist vom Punkt (x0 1 0) zu unterscheiden. Da eine Gleichung vom Grad n höchstens n Lösungen haben kann, kann eine Polynomfunktion vom Grad n höchstens n Nullstellen besitzen. Wir halten dies fest: Satz Eine Polynomfunktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen. Eine Polynomfunktion f vom Grad n kann aber durchaus weniger als n Nullstellen besitzen, wenn die algebraische Gleichung f (x) = 0 vom Grad n weniger als n Lösungen hat. Ist x 0eine „Doppellösung“ der Gleichung f (x) = 0, dann bezeichnet man die dazugehörige Nullstelle von f manchmal als „Doppelnullstelle“. BEISPIEL f (x) = 0,25 · (x 2 – 4x + c) mit c * ℝ • Für c = 3 ist f (x) = 0,25 · (x2 – 4 x + 3) = 0,25 · (x – 1) (x – 3) (roter Graph) • Für c = 4 ist f (x) = 0,25 · (x – 2)2 (blauer Graph) Wird der rote Graph in Richtung der zweiten Achse nach oben verschoben, kommen die beiden Nullstellen einander immer näher, bis sie schließlich zusammenfallen und eine „Doppelnullstelle“ bilden. Man erkennt eine Doppelnullstelle also daran, dass der Graph von f die erste Achse an der betreffenden Stelle berührt. 1.30 Nebenstehend ist ein Ausschnitt einer Polynomfunktion f vom Grad 6 dargestellt. Entnimm dem Graphen alle Nullstellen von f und begründe, dass keine weiteren Nullstellen von f existieren! 1.31 Ermittle alle Nullstellen der Funktion f: ℝ ¥ ℝ! a) f (x) = (x – 3)2 b) f (x) = x3 – x c) f (x) = x4 – 2x2 + 1 d) f (x) = x4 + x 3 – 6x2 1.32 Faktorisiere das Polynom f (x) und ermittle daraus die Lösungen der Gleichung f (x) = 0! a) f (x) = x3 + 2x2 – x – 2 c) f (x) = x3 + x 2 + x + 1 b) f (x) = 2x3 – 5x2 +4x–1 d) f (x) = x4 – 2x3 – 3x2 +4x+4 x f(x) 1 2 3 4 1 2 0 AUFGABEN L x f(x) f 1 2 3 –2 –1 1 –2 –1 0 kompakt Seite 15 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
14 1 GLEICHUNGEN UND POLYNOMFUNKTIONEN 1.33 Kreuze jene beiden Funktionen an, a) die keine Nullstellen haben, b) die mehr als zwei Nullstellen haben! f 1 (x) = x 2 +4x+3 f 2 (x) = x 4 + 3 x2 – 4 f 3 (x) = x 3 – x + 5 f4 (x) = x 2 –4x+5 f5 (x) = x 4 + 2 x2 + 4 f1 (x) = x 3 – 1000 x2 f 2 (x) = x 4 – 1000 x2 f3 (x) = x 5 – 1000 x2 f4 (x) = x 6 – 1000 x4 f5 (x) = x 6 – 1000 x3 1.34 Die folgenden Abbildungen zeigen Graphen zweier Polynomfunktionen dritten Grades. Gib jeweils die Nullstellen dieser Funktionen an und ermittle eine Funktionsgleichung! x f(x) 2 4 4 6 2 –2 –4 –2 O f Nullstellen von f: f (x) = Nullstellen von g: g (x) = x g(x) 2 4 2 –2 –4 –4 –2 O g 1.35 Die folgenden Abbildungen zeigen Graphen zweier Polynomfunktionen dritten Grades. Gib jeweils die Nullstellen dieser Funktionen an und ermittle eine Funktionsgleichung! x f1(x) 2 4 4 2 –2 O f1 f 1 A x ↦ 0,5 (x + 1) 3 (2 – x) f 2 B x ↦ (x – 1) 2 (x + 2) 2 C x ↦ 0,5 (x + 1) (2 – x) 3 D x ↦ (x + 1) 2 (x – 2) 2 x f2(x) 2 4 4 2 –2 O f2 1.36 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f dritten Grades. Für welche c * ℝhat die Funktion g mit g (x) = f (x) + c a) genau drei Nullstellen, b) genau zwei Nullstellen, c) genau eine Nullstelle? x f(x) 2 4 6 4 2 –2 O f –2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
15 1.2 Nullstellen Von PolynomfunktIonen 1.37 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f vierten Grades. Für welche c * ℝhat die Funktion g mit g (x) = f (x) + c a) genau vier Nullstellen, b) genau drei Nullstellen, c) genau zwei Nullstellen, d) genau eine Nullstelle, e) keine Nullstellen? x f(x) 2 4 4 2 –2 O f –2 Algebraische Gleichung vom Grad n lösen GEOGEBRA CASIO CLASS PAD II CAS Ansicht: Eingabe: Löse(Gleichung) – Werkzeug Ausgabe ¥ Liste der Lösung (en) BEMERKUNG: Gleichungen höheren Grades (n > 4) lassen sich auf diese Weise nicht immer lösen! Iconleiste – Main – Menüleiste – Aktion – Weiterführend – solve(Gleichung) E Ausgabe ¥ Liste der Lösung (en) Linearfaktor(en) eines Polynoms abspalten GEOGEBRA CASIO CLASS PAD II CAS Ansicht: Eingabe: Faktorisiere(Polynom) – Werkzeug Ausgabe ¥ Termdarstellung mit abgespaltenen Linearfaktoren Iconleiste – Main – Menüleiste – Aktion – Umformungen – faktoris – factor(Polynom) E Ausgabe ¥ Termdarstellung mit abgespaltenen Linearfaktoren Nullstelle(n) einer Polynomfunktion bestimmen GEOGEBRA CASIO CLASS PAD II CAS Ansicht: Eingabe: Nullstelle(Funktionsterm) – Werkzeug Ausgabe ¥ Liste der reellen Nullstellen der Polynomfunktion oder Algebra Ansicht: Eingabe: Nullstelle(Funktionsterm) ENTER Ausgabe ¥ Liste von Punkten (x0 , 0), wobei x0 Nullstelle der Polynomfunktion Grafik Ansicht: Ausgabe ¥ Punkte (x0 , 0), wobei x0 Nullstelle der Polynomfunktion Iconleiste – Main – Menüleiste – Aktion – Weiterführend – solve(Funktionsterm, Variable) E Ausgabe ¥ Liste der reellen Nullstellen der Polynomfunktion oder Iconleiste – Menu – Grafik &Tabelle Eingabe: Funktionsterm E Symbolleiste – $ Menüleiste – Analyse – Grafische Lösung – Nullstelle E Ausgabe ¥ Punkt (x0 , 0), wobei x0 Nullstelle der Polynomfunktion HINWEIS: Cursortaste rechts für weitere Nullstellen HINWEIS: Nullstellen müssen vor der Analyse auf dem Bildschirm sichtbar sein. O Für konkrete Anleitungen siehe Technologietrainingshefte Ó tI-Nspire kompakt 992m9h R TECHNOLOGIE KOMPAKT Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
16 KOMPETENZCHECK KOMPETENZCHECK 1.38 Ermittle alle reellen Lösungen der Gleichung! a) (x – 2) (x2 – 9) = 0 b) x (x 2 – 4) (x2 + 1) = 0 c) x 3 (x 2 – 1) (x3 + 8) = 0 1.39 Ermittle alle reellen Lösungen der Gleichung! a) x 4 – 2 x3 – 15x = 0 b) x 4 – 12 x2 + 27 = 0 c) x 6 – 4 x3 – 32 = 0 1.40 Gegeben ist die Gleichung 3 x3 – 14 x2 +13x+6=0. Zeige, dass x = 2Lösung dieser Gleichung ist und ermittle die restlichen Lösungen der Gleichung! 1.41 Gegeben sind fünf Gleichungen. Kreuze jeweils jene beiden Gleichungen an, die genau drei verschiedene reelle Lösungen haben! a) x 4 – 4 x3 = 0 x 5 – 4 x2 = 0 x 5 – 4 x3 = 0 x 6 – 4 x2 = 0 x 6 – 4 x3 = 0 b) 5 x 3 + 4 x2 + x = 0 x 4 + 3 x3 – 4 x2 = 0 4 x 3 – 3 x2 – x = 0 x 4 + 6 x3 + 9 x2 = 0 2 x 3 – 5 x2 +6x=0 1.42 Gegeben sind zwei Polynomfunktionen. Ordne jeder Funktion in der linken Tabelle die Anzahl ihrer Nullstellen aus A bis D zu! f (x) = x5 – 2 x3 + x A 1 f (x) = x5 – 6 x3 + 5 x B 2 C 3 D 4 1.43 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion dritten Grades. Für welche c * ℝhat die Funktion g mit g (x)= f (x)+ c a) genau drei Nullstellen, b) genau zwei Nullstellen, c) genau eine Nullstellen? 1.44 Wie viele Nullstellen kann eine Polynomfunktion vom Grad 4 haben? Skizziere für jede mögliche Anzahl von Nullstellen einen dazugehörigen Graphen! R Aufgaben vom Typ 1 AG-R 1.2 AG-R 1.2 AG-R 1.2 AG-R 1.2 FA-R 4.4 FA-R 4.4 x f(x) 2 4 6 8 4 6 2 –6 –4 –2 O f –2 FA-R 4.4 Ó Fragen zum Grundwissen 9935xx Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
17 KOMPETENZCHECK A 1.45 Gleichungen höheren Grades a) Aus gleichartigen Würfeln werden Pyramiden in mehreren Schichten wie in nebenstehender Abbildung gebaut. Um eine aus n Schichten bestehende Pyramide zu erhalten, benötigt man insgesamt n (n + 1) (2 n + 1) _ 6 Würfel. 1) Überprüfe dies für eine aus vier Schichten bestehende Pyramide! 2) Berechne, wie viele Schichten man mit 140 Würfeln erhält! b) Mit gleichartigen Würfeln soll eine Stiege wie in nebenstehender Abbildung gebaut werden. Um eine solche Stiege mit n Stufen zu erhalten, sind insgesamt n · (n + 1) _ 2 Würfel notwendig. 1) Überprüfe dies für eine Stiege dieser Art mit 5 Stufen! 2) Begründe, dass es nicht möglich ist, eine solche Stiege mit 130 Würfeln zu bauen! c) 1) Füllt man ein würfelförmiges Gefäß bis 1 dm unter der Oberkante mit Wasser, enthält es 100 Liter. Berechne die Kantenlänge des Gefäßes! 2) Für ein quaderförmiges Gefäß ist die Breite um 3 dm größer als die Höhe und die Länge um 3 dm größer als die Breite. In das Gefäß passen genau 80 Liter Wasser hinein. Berechne die Höhe des Gefäßes! 1.46 Nullstellen von Polynomfunktionen a) 1) Stelle das Polynom f (x) = x3 + 3x2 – 5 x + 1 in der Form f (x) = (x – 1) · g (x) mit einem Polynom g (x) dar! 2) Lässt sich auch das Polynom h (x) = x3 – 3x2 – 5 x + 1 in dieser Form darstellen? Überprüfe mit Technologieeinsatz und begründe die Antwort! b) 1) Z erlege das Polynom f (x) = x3 – 6x2 + 11 x – 6 in Linearfaktoren und gib alle reellen Lösungen der Gleichung f (x) = 0 an! 2) Gib ein Polynom f (x) vom Grad 3 an, das den Linearfaktor (x + 2) enthält und die Lösungen – 3 und 1 besitzt! c) 1) G ib eine Polynomfunktion vom Grad 3 mit genau drei Nullstellen an, von denen eine negativ und die anderen beiden positiv sind! 2) Gib eine Polynomfunktion vom Grad 4 mit genau zwei Nullstellen an, die beide negativ sind! d) 1) G ib eine Polynomfunktion vom Grad 5 an, die nur die Nullstelle 0 und zwei weitere von 0 verschiedene Nullstellen besitzt! 2) Gib eine Polynomfunktion vom Grad 6 an, die keine Nullstelle besitzt! Aufgaben vom Typ 2 FA-R 4.4 AG-R 1.2 AG-R 1.2 FA-R 4.4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
18 GRUNDBEGRIFFE DER DIFFERENTIALRECHNUNG 2 2.1 Differenzenquotient – Mittlere Änderungsrate Temperaturänderungen R 2.01 1) In der Tabelle rechts sind die zu verschiedenen Uhrzeiten eines Tages gemessenen Temperaturen an einem bestimmten Ort angegeben. Berechne die Temperaturänderungen in den Zeitintervallen [8; 14], [12; 18] und [14; 20]! LÖSUNG Im Intervall [8; 14]: 17 – 9 = 8 (°C) Im Intervall [12; 18]: 13 – 13 = 0 (°C) Im Intervall [14; 20]: 11 – 17 = – 6 (°C) Uhrzeit t Temperatur T (t) in °C 8 9 10 10 12 13 14 17 16 20 18 13 20 11 2) Was bedeutet positives, was negatives Vorzeichen der Temperaturänderung? LÖSUNG Positives Vorzeichen bedeutet Temperaturzunahme, negatives Vorzeichen Temperaturabnahme. 3) Beschreibe, wie die Temperaturänderung im Zeitintervall [a; b] berechnet werden kann! LÖSUNG T emperatur zur Zeit b minus Temperatur zur Zeit a, kurz: T (b) – T (a) 4) Gib allgemein die Geschwindigkeit der Temperaturänderung im Zeitintervall [a; b] an! LÖSUNG Wir bestimmen die Temperaturänderung pro Zeiteinheit, dh wir dividieren die Temperaturzunahme durch die Zeitdauer: T (b) – T (a) __ b – a Ausdrücke der Form T (b) – T (a) __ b – a sind uns schon aus Mathematik verstehen 6 (Seite 57) als Differenzenquotient oder mittlere Änderungsrate bekannt. Wir wiederholen die Definition für eine beliebige reelle Funktion: GRUNDKOMPETENZEN Den Zusammenhang Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) – Differentialquotient („momentane“ Änderungsrate) auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes kennen und damit (verbal sowie in formaler Schreibweise) auch kontextbezogen anwenden können. Den Differenzen- und Differentialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen bzw. Differentialquotienten beschreiben können. Einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, […]. AN-R 1.2 AN-R 1.3 AN-R 2.1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
19 2.1 DifferenzenQuotient – Mittlere Änderungsrate Definition Es sei f : A ¥ ℝ eine reelle Funktion mit a , b * A und a ≠ b. Die Zahl f(b) – f(a) __ b – a heißt Differenzenquotient oder mittlere Änderungsrate von f in [a; b]. Differenzenquotient als Sekantensteigung R Wir untersuchen zuerst den Differenzenquotienten einer linearen Funktion: Satz Der Differenzenquotient (die mittlere Änderungsrate) einer linearen Funktion f mit f (x) = k · x + dist in jedem Intervall [ a; b ] gleich der Steigung k. BEWEIS f (b) – f (a) __ b – a = k · b + d – (k · a + d) ___ b – a = k · b – k · a __ b – a = k · (b – a) __ b – a = k Ist die Funktion f in [a; b]nicht linear, so betrachten wir die lineare Funktion s mit s (a) = f (a)und s (b) = f (b). Diese Funktion heißt Sekantenfunktion von f in [a; b]. a b f b – a f (b) f (a) f (b) – f (a) Der Graph von f verläuft oft in der Nähe des Graphen von s. Ist k die Steigung der Sekantenfunktion, dann gilt aufgrund des obigen Satzes: f (b) – f (a) __ b – a = s (b) – s (a) __ b – a = k b – a f (a) = s (a) f (b) = s (b) f (b) – f (a) = = s (b) – s (a) a b s f Damit haben wir gezeigt: Satz Der Differenzenquotient (die mittlere Änderungsrate) einer Funktion f in [ a; b ] ist gleich der Steigung der Sekantenfunktion von f in [ a; b ]. Die Steigung k der Sekantenfunktion bezeichnet man auch als mittlere Steigung von f in [ a; b ]. Im Intervall [ a; b ] kann die Steigung der Funktion f an manchen Stellen kleiner als die Steigung der Sekantenfunktion s, an manchen Stellen größer sein. „Im Mittel” hat f jedoch im Intervall [ a; b ] die Steigung k der Sekantenfunktion. BEISPIEL f (x) = x 2 (mit x * ℝ 0 +) Die mittlere Steigung im Intervall [ 0; 2 ] beträgt f (2) – f (0) __ 2 – 0 = 2 2 – 0 2 _ 2 – 0 = 2. Das ist die Steigung der Sekantenfunktion von f in [0; 2]. 0 1 2 f (x) 1 2 3 4 x s f Ó Lernapplet 994i9g Ó Lernapplet 999k76 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
20 2 GRUNDBEGRIFFE DER DIFFERENTIALRECHNUNG Vorzeichen des Differenzenquotienten R Ist [ a; b ] ein Intervall, dann gilt b – a > 0und somit gilt: f (b) – f (a) __ b – a > 0 É f (b) – f (a) > 0 É f (a) < f (b) É É Sekantenfunktion streng monoton steigend in [ a; b ] É f steigt im „Endeffekt“ in [ a; b ] (muss aber in [ a; b ] nicht monoton steigend sein). Man sagt auch: f steigt im Mittel in [ a; b ]. a b f b – a f (b) – f (a) f (a) f (b) f (b) – f (a) __ b – a <0 É f (b) – f (a) < 0 É f (a) > f (b) É É Sekantenfunktion streng monoton fallend in [ a; b ] É f fällt im „Endeffekt“ in [ a; b ] (muss aber in [ a; b ] nicht monoton fallend sein). Man sagt auch: f fällt im Mittel in [ a; b ]. a b b – a †f (b) – f (a)† f (b) f (a) f f (b) – f (a) __ b – a = 0 É f (b) – f (a) = 0 É f (a) = f (b) É É Sekantenfunktion konstant in [ a; b ] É f ist im „Endeffekt“ in [ a; b ] weder wachsend noch fallend (muss aber in [ a; b ] nicht konstant sein). a b b – a f (b) f (a) f Zwei Auffassungen des Differenzenquotienten R In der nebenstehenden Abbildung sind eine reelle Funktion f und die zugehörige Sekantenfunktion s in einem Intervall [ a; b ] dargestellt. Der Differenzenquotient f(b) – f(a) __ b – a ist gleich der Steigung k der Sekantenfunktion s. Man erkennt an der Abbildung, dass diese Steigung k auf zwei Arten aufgefasst werden kann: • k = f(b) – f(a) __ b – a , dh. k ist gleich dem Verhältnis der Änderung der Funktionswerte von f zur Änderung der Argumente. • k = Änderung der Funktionswerte von s bei Zunahme von x um 1 = mittlere Änderung der Funktionswerte von f bei Zunahme von x um 1. Wir fassen zusammen: Merke Ein Differenzenquotient f (b) – f (a) __ b – a kann aufgefasst werden als • Verhältnis der Änderung der Funktionswerte zur Änderung der Argumente in [ a; b ], • mittlere (durchschnittliche) Änderung der Funktionswerte pro Argumenteinheit in [ a; b ]. Ó Lernapplet 99i8mu s a x x + 1 b 2. A. f (a) f (b) 1. A. 1 k f f(b) – f (a) b – a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
21 2.1 DifferenzenQuotient – Mittlere Änderungsrate 2.02 Berechne die mittlere Änderungsrate von f im angegebenen Intervall! a) f(x) = 3x2, [1; 5] d) x4 – 5 x2 + 6, [0; 2] g) f (x) = 4 _ x + 3, [2; 4] b) f (x) = x2 + x, [0; 4] e) f(x) = – 1 _ 2 · x 3 + x – 3, [–4; 2] h) f (x) = 8 _ x2 – 1, [– 4; – 2] c) f (x) = x3 – 2 x2, [– 1; 3] f) f (x) = x3 + 3 x2 – x, [ –3; –1] i) f (x) = 12 _ x + x, [1; 3] 2.03 Gib den Differenzenquotienten der nachstehenden Funktion im angegebenen Intervall an! a) x ¦ f (x), [ b; b + h ] c) t ¦ N (t), [ t 0; t 0 + 1 ] e) r ¦ u (r), [ a – 1; a ] b) r ¦ A (r), [ r 1; r 2 ] d) z ¦ y (z), [ – z 0; z 0 ] f) s ¦ g (s), [ 0; s 0 ] 2.04 Schreibe den Differenzenquotienten der Funktion f im angegebenen Intervall an und vereinfache das Ergebnis! a) f(x) = 2x2 + 3, [x 1; x 2] c) f (x) = x 3 + 1, [ x 1; x 2 ] e) f (x) = 2 _ x – 4, [ x 1; x 2 ] b) f (x) = x2 – 6 x, [ a; a + h ] d) f (x) = x3 + 2 x, [ a; a + h ] f) f (x) = 1 _ x + x, [ a; a + h ] 2.05 Die Abbildung zeigt den Graphen einer reellen Funktion f. Berechne a) den Differenzenquotienten von f in [–1; 1]: b) die absolute Änderung von f in [–1; 7]: c) die mittlere Änderungsrate von f in [1; 5]: x y 2 4 6 8 4 6 2 –2 –4 –2 O 2.06 Ermittle die Steigung der Sekantenfunktion von f im angegebenen Intervall! a) f(x) = 4 – x2, [3; 5] c) f (x) = x3 – x, [0; 3] e) f (x) = 2 _ x + x, [– 5; – 1] b) f (x) = x2 – 2 x, [2; 4] d) f (x) = x2 – x 3, [– 2; 1] f) f (x) = 4 _ x 2 + 1, [–4; –2] 2.07 Von einer reellen Funktion f kennt man den Funktionswert f (1) = – 5. Der Differenzenquotient im Intervall [1; 4] beträgt 2. Berechne den Funktionswert von f an der Stelle 4! 2.08 Von einer reellen Funktion kennt man den Funktionswert f (– 2) = – 3. Der Differenzenquotient im Intervall [ – 2; 4]beträgt 2, der Differenzenquotient in [4; 6] beträgt –1 und der Differenzenquotient in [1; 6]beträgt 1. Berechne die Funktionswerte f (1), f (4) und f (6)! 2.09 Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = 1 _ 2 x 2 + 3. Gib jeweils zwei Beispiele für Intervalle [a; b]mit a < ban, so dass der Differenzenquotient von f in [a; b] a) den Wert 4 hat, b) den Wert – 3 hat! AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
22 2 GRUNDBEGRIFFE DER DIFFERENTIALRECHNUNG 2.2 Geschwindigkeit 2.10 Beim Bungee Jumping befindet sich der Springer im freien Fall, wenn man vom Luftwiderstand absieht. Für den Weg s (t), den ein Körper beim freien Fall im Zeitintervall [ 0; t ] zurücklegt, gilt näherungsweise s (t) = 5 t2 (t in Sekunden, s in Meter). 1) Berechne die mittlere Geschwindigkeit des Springers im Zeitintervall [ 1; 4 ]! 2) Gib eine Formel für die mittlere Geschwindigkeit des Springers im Zeitintervall [ t; z ] an! 3) Berechne die Geschwindigkeit des Springers zum Zeitpunkt 3! LÖSUNG 1) Wir bezeichnen die mittlere Geschwindigkeit des Springers im Zeitintervall [ t 1; t 2 ] mit ‾v (t 1; t 2). ‾v (1; 4) = _zurückg_ele gte_r Weg benötigte Zeit = s (4) – s (1) __ 4 – 1 = 5 · 4 2 – 5·12 __ 3 = 25 (m/s) Der Springer legt in den einzelnen Sekunden nicht den gleichen Weg zurück. (Am Anfang legt er in einer Sekunde etwas weniger, gegen Ende in einer Sekunde etwas mehr zurück.) lm Mittel (!) legt er jedoch 25 m pro Sekunde zurück. 2) ‾v (t; z) = s (z) – s (t) __ z – t = 5 · z 2 –5·t2 __ z – t = 5 · (z 2 – t 2) __ z – t = 5 · (z – t) (z + t) ___ z – t = 5 · (z + t) Diese Formel gilt nur für z ≠ t, weil sonst die Nenner der Brüche gleich 0 wären. 3) Wir bezeichnen die Geschwindigkeit des Springers zum Zeitpunkt 3 mit v (3). Was soll man darunter überhaupt verstehen? Es liegt nahe, die mittleren Geschwindigkeiten in immer kleiner werdenden Zeitintervallen [ 3; z ] zu ermitteln, dh. z immer näher bei 3 zu wählen, wodurch man eine immer bessere Näherung für die gesuchte Geschwindigkeit v (3) erhält. Nach 2) gilt für t = 3: ‾v (3; z) = 5 · (z + 3)für z ≠ 3 In der nebenstehenden Tabelle wurde ‾v (3; z) für verschiedene, immer näher bei 3 liegende Werte von z berechnet. Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 3 kann man als „Grenzwert“ [lat.: Limes] dieser mittleren Geschwindigkeiten auffassen, wenn sich z unbegrenzt der Zahl 3 nähert (dh. in beliebige Nähe von 3 kommt). Dies schreibt man kurz so an: v (3) = lim z ¥ 3 ‾v (3; z) [Lies: v (3) ist der Limes von ‾v (3; z) für z gegen 3.] Aufgrund der Tabelle vermuten wir: Nähert sich z unbegrenzt der Zahl 3, dann nähert sich ‾v (3; z) unbegrenzt der Zahl 30. Also: v (3) = lim z ¥ 3 ‾v (3; z) = 30 m/s Zeitintervall [3; z] mittlere Geschwindigkeit ‾v (3; z) [ 3; 4 ] 35 [ 3; 3,5 ] 32,5 [ 3; 3,1 ] 30,5 [ 3; 3,01 ] 30,05 [ 3; 3,001 ] 30,005 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
23 2.2 Geschwindigkeit Hätten wir in der letzten Aufgabe die Geschwindigkeit v (3) nicht einfacher erhalten können? Wir hätten ja einfach in der Formel ‾v (3; z) = 5 · (z + 3) für z die Zahl 3 einsetzen können und damit v (3) = ‾v (3; 3) = 5 · (3 + 3) = 30erhalten. Dieses Vorgehen ist streng genommen nicht erlaubt, weil die Formel ‾v (3; z) = 5 · (z + 3) nur für z ≠ 3gilt. Wir können das Ergebnis jedoch rechtfertigen, indem wir folgendermaßen argumentieren: Wenn sich z unbegrenzt der Zahl 3 nähert, dann nähert sich die Zahl z + 3unbegrenzt der Zahl 3 + 3 = 6und somit die Zahl 5 · (z + 3) unbegrenzt der Zahl 5 · 6 = 30. Allgemein definiert man: Definition Bewegt sich ein Körper gemäß der Zeit Ort Funktion s: t ¦ s (t), dann setzt man: • Mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [ t 1; t 2 ] = ‾ v (t 1; t 2) = s (t 2) – s (t 1) __ t 2 – t 1 • Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = v (t) = lim z ¥ t ‾v (t; z) = lim z ¥ t s (z) – s (t) __ z – t BEMERKUNG v (t) wird auch als Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t bezeichnet. Beispielsweise gibt ein Tachometer im Auto zu jedem Zeitpunkt die jeweilige Momentangeschwindigkeit an. Für eine lineare Zeit-Ort-Funktion s: t ¥ k·t+dist‾v(t, z) = s(z) – s(t) __ z – t = (k · z + d) – (k · t + d) ___ z – t = k, dh. die mittlere Geschwindigkeit ist in jedem Zeitintervall [t, z]gleich k. Nähert sich nun z unbegrenzt der Zahl t, dann bleibt ‾v(t, z) stets unverändert gleich k. Somit ist v (t) =lim z ¥ t ‾v(t, z) = k. Das bedeutet: Die Geschwindigkeit ist zu jedem Zeitpunkt gleich hoch. Eine Bewegung mit linearer Zeit Ort Funktion heißt gleichförmige Bewegung. 2.11 (Fortsetzung von 2.10) Gib beim Bungee Jumping eine Formel für die mittlere Geschwindigkeit ‾v (4; z) an und begründe, dass daraus v (4) = 40 m/sfolgt! 2.12 Wird eine Kugel von der 60 m hoch gelegenen Plattform eines Aussichtsturms fallengelassen, so ist der zurückgelegte Weg (in m) nach t Sekunden annähernd gegeben durch s (t) = 5 t². 1) Berechne die mittlere Geschwindigkeit der Kugel während der ersten zwei Sekunden! 2) Berechne die Geschwindigkeit der Kugel zu den Zeitpunkten 1, 2, 3 (s)! 2.13 Die Höhe eines lotrecht nach oben geworfenen Körpers zum Zeitpunkt t ist ungefähr gegeben durch h (t) = v0 t – 5t 2, wobei v 0 die Abschussgeschwindigkeit ist (t in Sekunden, h (t) in Meter, v 0 in m/s). Berechne für v 0 = 34 m/s 1) die mittlere Geschwindigkeit des Körpers während der ersten zwei Sekunden, 2) die Geschwindigkeit des Körpers zu den Zeitpunkten 0, 1, 2 3, 4, 5 (s)! Was bedeutet eine negative Geschwindigkeit? AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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