99 5.5 Eigenschaften der Sinus- und Cosinusfunktion 5.5 Eigenschaften der Sinus- und Cosinusfunktion Wir zählen im Folgenden einige Eigenschaften der Sinus- und Cosinusfunktion auf, die man sowohl am Einheitskreis als auch an den Graphen erkennen kann. Schranken, Nullstellen, lokale Extremstellen und Monotonie R sin x x 1 0 –1 2π –2π π -π cos x x 1 0 –1 2π π –2π -π 1. A. 2. A. cos x 1 1 x 0 sin x Satz Für alle x * ℝ gilt: –1ªsinxª1 und –1ªcosxª1 Satz (1) sinx = 0 É x = k · π (k * ℤ) (2) cosx = 0 É x = π _ 2 + k · π (k * ℤ) Satz (1) Die Funktion x ¦ sin x besitzt die lokalen Maximumstellen x = π _ 2 +k·2 π und die lokalen Minimumstellen x = 3 π _ 2 +k·2 π (mit k * ℤ). (2) Die Funktion x ¦ cos x besitzt die lokalen Maximumstellen x = k · 2 π und die lokalen Minimumstellen x = π + k · 2 π (mit k * ℤ). Satz (1) Die Funktion x ¦ sin x ist streng monoton steigend in [ – π _ 2 + k · 2 π; π _ 2 + k · 2 π ] und streng monoton fallend in [ π _ 2 + k · 2 π; 3 π _ 2 + k · 2 π ](mit k * ℤ). (2) Die Funktion x ¦ cos x ist streng monoton steigend in [π + k · 2 π; 2 π + k · 2 π] und streng monoton fallend in [k · 2 π; π + k · 2 π] (mit k * ℤ). Symmetrie R Satz Für alle x * R gilt: (1) cos (– x) = cos x (2) sin (– x) = – sin x 1. A. 2. A. cos x cos (–x) 1 1 x –x 0 sin x sin (–x) sin x sin (–x) x –x 1 2. A. sin 1. A. 0 –1 –2π -π π 2π cos 1 0 –1 x cos x = cos (–x) –x 2. A. 1. A. –2π -π 2π π Die Sinusfunktion ist eine ungerade, die Cosinusfunktion eine gerade Funktion. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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