98 5 WINKELFUNKTIONEN Periodizität der Winkelfunktionen R Dass sich die Verläufe der Graphen in regelmäßigen Abständen wiederholen, ist eine auffallende Eigenschaft der Winkelfunktionen. Die Funktionswerte der Sinusfunktion stimmen überein, wenn sich die Argumente um ganzzahlige Vielfache von 2 π unterscheiden. Dasselbe gilt für die Cosinusfunktion. Die Funktionswerte der Tangensfunktion stimmen überein, wenn sich die Argumente um ganzzahlige Vielfache von π unterscheiden. Es gilt also: sinx = sin(x ± 2 π) = sin(x ± 4 π) = sin(x ± 6 π) = … cosx = cos(x ± 2 π) = cos(x ± 4 π) = cos(x ± 6 π) = … tan x = tan (x ± π) = tan(x ± 2 π) = tan(x ± 3 π) = … Funktionen dieser Art bekommen einen eigenen Namen: Definition Eine reelle Funktion f: A ¥ ℝ heißt periodisch, wenn es eine positive Zahl p gibt, sodass für alle x * A gilt: f (x + p) = f (x). Die Zahl p heißt eine Periode der Funktion f. • Die Sinus- und Cosinusfunktion sind periodische Funktionen mit der kleinsten Periode 2 π. Doch sind auch alle Vielfachen n · 2 π (mit n * N*) Perioden dieser Funktionen. • Die Tangensfunktion ist eine periodische Funktion mit der kleinsten Periode π. Doch sind auch alle Vielfachen n · π (mit n * N*) Perioden dieser Funktion. 5.15 Wie lautet die Wertemenge der a) Sinusfunktion, b) Cosinusfunktion, c) Tangensfunktion? 5.16 Es sei p * ℝ +. Kreuze die beiden Aussagen an, die für alle Funktionen f: ℝ ¥ ℝ gelten! Wenn es ein x * ℝ mit f (x + p) = f (x) gibt, dann ist f periodisch mit der Periode p. Wenn f (x + p) = f (x) für alle x * ℝ ist, dann ist f periodisch mit der Periode p. Wenn f (x + p) = f (x) für alle x * ℝ ist, dann ist f periodisch mit der kleinsten Periode p. Wenn f periodisch mit der Periode p ist, dann ist f auch periodisch mit der Periode 1,5 p. Wenn f periodisch mit der Periode p ist, dann ist f auch periodisch mit der Periode 2 p. 5.17 Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! Die Funktion x ¦ cos x besitzt die Perioden π und 4 π. Die Funktion x ¦ sin x besitzt die Perioden 2 π und 8 π. Die Funktion x ¦ tan x besitzt die Perioden π und 8 π. Die Funktion x ¦ e x · sin x ist periodisch. Die Funktionswerte einer periodischen Funktion besitzen stets eine obere Schranke. 5.18 Begründe: Eine streng monoton steigende Funktion kann nicht periodisch sein. 5.19 Nebenstehend ist eine periodische „Sägezahnfunktion“ f: ℝ ¥ ℝ ausschnittweise dargestellt. a) Wie groß ist die kleinste Periode von f? b) Wie lautet die Wertemenge von f? AUFGABEN R 1 1 – 1 0 x f f(x) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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