96 5 WINKELFUNKTIONEN 5.3 Erweiterung von Sinus, Cosinus und Tangens Sinus, Cosinus und Tangens für beliebige Winkelmaße R In den folgenden Abschnitten werden wir uns mit Sinus, Cosinus und Tangens als Funktionen beschäftigen. In diesem Zusammenhang messen wir Winkel ausschließlich im Bogenmaß. Bisher waren sina und cos a nur für Bogenmaße a * [0; 2 π) definiert. Da Drehwinkelmaße aber auch außerhalb dieses Intervalls liegen können, ist es zweckmäßig, Sinus und Cosinus abermals zu erweitern. Es liegt nahe, den Sinus bzw. Cosinus eines Drehwinkelmaßes a gleich dem Sinus bzw. Cosinus des dazugehörigen Polarwinkelmaßes ‾azu setzen. Definition Ist a * ℝ ein Drehwinkelmaß und ‾a * [0; 2 π) das dazugehörige Polarwinkelmaß, so setzt man: sina = sin‾aund cos a = cos ‾a Den Tangens können wir für a * R definieren, indem wir tan a = sin a _ cos a setzen. Wir müssen allerdings diejenigen Werte von a ausnehmen, für die cos a = 0 ist. Definition Für alle a * R mita≠±π _ 2 , ± 3 π _ 2 , ± 5 π _ 2 , … setzt man: tan a = sin a _ cos a Die Werte von sin a, cos a und tan a können mit Technologieeinsatz nach Umstellung auf das Bogenmaß (RAD) wie gewohnt berechnet werden, auch wenn a außerhalb des Intervalls [0; 2 π) liegt. Berechnung der kartesischen Koordinaten Ein punktförmiger Körper bewege sich wie in obiger Abbildung auf einer Kreisbahn mit dem Mittelpunkt O = (0 1 0), beginnend im Punkt P0 = (r 1 0). Nachdem er sich um einen Winkel mit dem Bogenmaß a gedreht hat, gilt für seine kartesischen Koordinaten: x = r · cos ‾a= r·cosa und y = r·sin‾a= r·sina Wir können die kartesischen Koordinaten also für alle a * R auf die gewohnte Weise berechnen: x = r · cos a und y = r · sin a 5.12 Berechne mit Technologieeinsatz! a) sin 25 π _ 4 b) cos 35 π _ 2 c) tan 41 π _ 4 d) sin (– 5 π _ 2 ) e) cos (– 33 π _ 4 ) f) tan (– 27 π _ 4 ) 5.13 Gib drei Drehwinkelmaße (Bogenmaße) an, die denselben Sinus haben wie das angegebene Polarwinkelmaß! a) π b) 0,5 π c) π _ 4 d) 0,85 e) π _ 5 f) 1 g) 4,75 5.14 a) Für welche Werte von a ist tan (2 a) nicht definiert? b) Für welche Werte von a ist tan ( a _ 2 ) nicht definiert? P P0 0 r cos a sin a a a 1. A. 2. A. AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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