92 5.1 Das Bogenmaß Warum ein weiteres Winkelmaß? R Wird ein Winkel im Gradmaß gemessen, so teilt man einen vollen Winkel in 360°, einen rechten Winkel somit in 90° ein. In der Vermessungskunde ist das Neugradmaß gebräuchlich. Dabei misst ein voller Winkel 400g [= 400 gon = 400 Neugrad], ein rechter Winkel somit 100g. Beide Maße beruhen auf zufälligen außermathematischen Gegebenheiten. Das Gradmaß wurde von den Babyloniern eingeführt und hängt vermutlich damit zusammen, dass die Erde bei ihrem Umlauf um die Sonne zufällig ca. 360 Tage braucht. Das Neugradmaß ist durch eine Angleichung an das Zehnersystem entstanden und hängt damit zusammen, dass wir zufällig zehn Finger an unseren Händen haben. In der Mathematik wünscht man sich aber ein Winkelmaß, das nicht von zufälligen außermathematischen Gegebenheiten abhängt. Das Auffinden eines solchen Maßes beruht auf der Idee, die Größe eines Winkels durch die Länge b eines zum Winkel gehörigen Winkelbogens anzugeben. Die Länge b hängt jedoch vom gewählten Radius r ab. In der Abbildung gilt aufgrund ähnlicher Dreiecke: s _ r = s ’ _ r ’ Analoges kann man für die Winkelbögen beweisen: b _ r = b ’ _ r ’ Für einen vorgegebenen Winkel ist also der Quotient b _ r konstant und unabhängig vom gewählten Radius. Er kann daher als Maß für die Größe des Winkels verwendet werden. Definition Das Bogenmaß eines Winkels ist der Quotient a = b _ r , wobei b die Länge des zum Winkel gehörigen Bogens mit dem Radius r ist. b r r b r’ b’ s’ s b r WINKELFUNKTIONEN GRUNDKOMPETENZEN Grafisch oder durch eine Gleichung gegebene Zusammenhänge der Art f (x) = a · sin (b · x) als allgemeine Sinusfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können. Aus Graphen und Gleichungen von allgemeinen Sinusfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können. Die Wirkung der Parameter a und b kennen und die Parameter im Kontext deuten können. Periodizität als charakteristische Eigenschaft kennen und im Kontext deuten können. Wissen, dass cos (x) = sin (x + π _ 2 ). FA-R 6.1 FA-R 6.2 FA-R 6.3 FA-R 6.4 FA-R 6.5 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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