85 4.5 Wachstum bei Beschränkung BEGRÜNDUNG (1) Wir dividieren Zähler und Nenner durch at: N (t) = K · N 0 · a t _ N 0 · a t + (K – N 0) = K · N 0 _ N 0 + (K – N 0) · 1 _ a t Wir schließen nun so: t wächst w at wächst (wegen a > 1) w 1 _ a t fällt w (K – N 0) · 1 _ a t fällt (wegen K > N0) w w N0 + (K – N 0) · 1 _ a t fällt w 1 _ N 0 + (K – N 0) · 1 _ a t wächst w K · N 0 _ N 0 + (K – N 0) · 1 _ a t wächst (2) Einerseits gilt N0 = N (0) ª N (t) für alle t * R 0 + , da N streng monoton steigend ist. Andererseits erhalten wir, wenn wir Zähler und Nenner durch N0 · at dividieren: N (t) = K · N 0 · a t _ N 0 · a t + (K – N 0) = K __ 1 + K – N 0 _ N 0 · a t ⏟ > 0 < K (3) Wir dividieren Zähler und Nenner durch K: N (t) = K · N 0 · a t _ N 0 · a t + (K – N 0) = N 0 · a t _ N 0 _ K · a t + (1 – N 0 _ K ) Für K Â N0 ist N 0 _ K ≈ 0. Wenn außerdem die Werte von t klein sind, ist N 0 _ K · a t ≈ 0 · 1 = 0. Somit gilt: N (t) ≈ N0 · at (4) Wir dividieren Zähler und Nenner durch at: N (t) = K · N 0 · a t _ N 0 · a t + (K – N 0) = K · N 0 _ N 0 + (K – N 0) · 1 _ a t Für sehr große Werte von t ist 1 _ a t ≈ 0 und somit: N (t) ≈ K · N 0 _ N 0 = K 4.87 Eine Infektionskrankheit verbreitet sich in einer Population von 10 000 Personen näherungsweise nach der Formel für kontinuierliches logistisches Wachstum. Dabei ist N (t) die Anzahl der nach t Tagen infizierten Personen. Es sei N (0) = 10 und N (10) = 400. 1) Stelle eine Formel für N (t) auf! 2) Wie viele Personen sind nach 30 Tagen infiziert? 3) Wie viele Personen sind nach 60 Tagen noch nicht infiziert? 4) Wann sind 95 % der Population infiziert? 5) Versuche zu erklären, warum die Ausbreitung einer Infektion am Anfang annähernd exponentiell, später aber mehr und mehr gebremst verläuft! 4.88 In einer 200 000 Bewohner zählenden Stadt verbreitet ein Stadtbewohner ein Gerücht. Jeder Stadtbewohner, der es erfährt, verbreitet es an andere Stadtbewohner weiter. Wir nehmen an, dass die Anzahl derer, die das Gerücht gehört haben, logistisch mit 15 % pro Stunde zunimmt (dh. a = 1,15). 1) Wie viele Menschen haben nach 5 h diese Neuigkeit erfahren? 2) Nach welcher Zeit wissen 20 % aller Stadtbewohner vom Gerücht? 3) Versuche zu erklären, warum sich die Ausbreitung eines Gerüchts mit dem logistischen Wachstum beschreiben lässt! AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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