84 4 EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUSFUNKTIONEN Kontinuierliches logistisches Wachstum L Geht man von ähnlichen Annahmen wie beim diskreten logistischen Wachstumsmodell aus, dann kann man mit den Mitteln der höheren Mathematik die folgende auf R 0 + definierte Funktion finden, die die Populationsgröße N (t) zu jedem Zeitpunkt t angibt: N (t) = K · N 0 · a t _ N 0 · a t + (K – N 0) (wobei a > 1, N0 =N(0)<Kundt * R 0 +) Wird ein Wachstumsprozess durch eine Formel dieser Art beschrieben, spricht man von einem kontinuierlichen logistischen Wachstum. 4.86 Im Jahre 1960 gab es ca. 3 · 109 Menschen auf der Erde, bis 1977 wuchs die Zahl auf 4,1 · 109. 1) Wie viele Menschen würden im Jahre 2050 auf der Erde leben, wenn man ungebremstes exponentielles Wachstum annimmt? 2) Wie viele Menschen würden im Jahre 2050 auf der Erde leben, wenn man logistisches Wachstum zugrunde legt und annimmt, dass auf der Erde höchstens K = 20 · 109 Menschen leben können? 3) Zeichne den Graphen der logistischen Wachstumsfunktion N, die jeder Zeit t (Jahre nach 1960) die Bevölkerungszahl der Erde zuordnet! LÖSUNG Es sei t die Anzahl der Jahre nach 1960. 1) N (t) = 3 · 109 · at N (17) = 3 · 109 · a17 w 4,1 · 109 = 3 · 109 · a17 w a = 17 � _ 4,1 _ 3 = 1,0185 Somit gilt: N (90) ≈ 3 · 109 · a90 ≈ 1,57 · 1010 2) N (t) = K · N 0 · a t _ N 0 · a t + (K – N 0) = = 20 · 10 9 · 3 · 1 0 9 · a t _____ 3 · 10 9 · a t + (20 · 10 9 – 3 · 10 9) = = 60 · 10 18 · a t ___ 3 · 10 9 · a t + 17 · 10 9 = 60 · a t _ 3 · a t + 17 · 10 9 N(17) = 60 · a 17 _ 3 · a17 + 17 · 109 = 4,1 · 109 w w a = 1,0225 N(90) = 60 · a 90 _ 3 · a 90 + 17 · 10 9 = 1,14 · 10 10 3) Siehe die nebenstehende Abbildung! Die Abbildung in Aufgabe 4.86 zeigt die typische Form des Graphen einer kontinuierlichen logistischen Wachstumsfunktion N. Einige charakteristischen Eigenschaften solcher Funktionen fassen wir im Folgenden zusammen: (1) Die Funktion N ist streng monoton steigend. (2) Es gilt N0 ª N(t) < K für alle t * R 0 + . (3) Wenn K sehr viel größer als N0 ist (in Zeichen: K Â N0), verläuft das logistische Wachstum anfänglich annähernd exponentiell. (4) Für sehr große Werte von t gilt: N (t) ≈ K. 240 2200 140 2100 40 2000 0 1960 t 20·109 3·109 N(t) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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