82 4 EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUSFUNKTIONEN 4.5 Wachstum bei Beschränkung Grenzen des ungebremsten exponentiellen Wachstums L 4.81 Im Jahre 2004 lebten ungefähr 6 Milliarden Menschen auf der Erde. Die Erdbevölkerung wächst annähernd exponentiell um ca. 2,2 % jährlich. Wann wäre bei ungebremstem exponentiellen Wachstum die Bevölkerungszahl so groß, dass auf dem Festland der Erde (ca. 1,7 · 1014 m2) für jeden Menschen nur mehr so viel Platz ist wie für einen Besucher der Ostermesse auf dem Petersplatz in Rom (ca. 0,2 m2)? LÖSUNG • Ist t die Anzahl der Jahre nach 2004, dann gilt: N (t) = 6 · 10 9 · 1,022 t. • Stünden jedem Menschen auf dem Festland nur 0,2m2 Platz zur Verfügung, dann hätten dort insgesamt ca. 1,7 · 10 14 _ 0,2 = 8,5 · 10 14 Menschen Platz. • Wir ermitteln also die Zeit t, für die gilt: N (t) = 8,5 · 10 14 6 · 10 9 · 1,022 t = 8,5 · 10 14 Aus dieser Gleichung folgt der Reihe nach: 1,022 t = 8,5 _ 6 · 10 5 w t · log 10 1,022 = log 10( 8,5 _ 6 ) + log 10(10 5) w t = log 10( 8,5 _ 6 ) + 5 _ log 10 1,022 ≈ 545 • Es hätte also bereits im Jahre 2549 jeder Mensch nur mehr 0,2 m 2 Platz. Die Annahme eines ungebremsten exponentiellen Waschstums der Erdbevölkerung wie in Aufgabe 4.78 ist unrealistisch, denn Ressourcenknappheit, Kriege, Seuchen etc. würden das Wachstum bremsen. Im Folgenden erstellen wir daher realitätsnähere Wachstumsmodelle. Diskretes logistisches Wachstum L Eine Population wachse ungebremst nach dem Gesetz N(n) = N0 · a n (mit N 0 > 0 und a > 1, n * N*, n in Jahren). Wir berechnen die relative Änderung von N: N(n +1) – N(n) _ N (n) = N 0 · a n + 1 – N 0 · a n ___ N 0 · a n = N 0 · a n · (a – 1) _ N 0 ·a n = a – 1 Wir sehen: Bei ungebremstem exponentiellen Wachsen ist die jährliche relative Änderung konstant. Wenn es jedoch für eine Population eine größtmögliche Individuenanzahl K gibt, kann die jährliche relative Änderung nicht konstant sein, weil sonst N (n) früher oder später die Schranke K übersteigen würde. Es ist vielmehr sinnvoll anzunehmen, dass die jährliche relative Änderung umso kleiner wird, je näher die Populationsgröße N (n) an die Schranke K herankommt, dh. je kleiner die Differenz K – N (n) wird. Wir nehmen im Folgenden an, dass die relative Änderung im Zeitintervall [n; n + 1] direkt proportional zur Differenz K – N (n) ist: N(n +1) – N(n) _ N (n) = C · [K – N (n)], wobei der Proportionalitätsfaktor C eine für die jeweilige Population charakteristische Konstante ist. Daraus folgt: N (0) = N 0 und N (n + 1) = N (n) + C · N (n) · [K – N (n)] Eine solche Darstellung bezeichnet man als rekursive Darstellung. Mit Hilfe der Rekursionsgleichung N (n + 1) = N (n) + C · N (n) · [K – N (n)] kann man jeweils aus einem Wert N (n) den nächsten Wert N (n + 1) berechnen, wobei man von der Anfangsbedingung N (0) = N0 ausgeht. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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